Урок «Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение площадей плоских фигур с помощью интеграла»

На прошлом уроке мы познакомились с понятием определённого интеграла.

Предел суммы при эн стремящемся к бесконечности  называется определённым интегралом от функции (игрек равно эф малое от икс) по отрезку а, бэи обозначается так:

Читается как «интеграл от а до бэ от икс дэ икс».

Числа а и бэ называются верхним и нижним пределами интегрирования.

В курсе математического анализа доказана следующая теорема:
если функция(игрек равен эф от икс) непрерывна на отрезке а, бэ , то справедлива формула:(определённый интеграл от а до бэ эф икс дэ икс равен эф большое от бэ минус эф большое от а), где (эф большое  от икс) — первообразная для функции (эф малое от икс).

Данную формулу принято называть формулой Ньютона-Лейбница в честь Исаака Ньютона — английского физика, и Готфрида Лейбница — немецкого философа, которые вывели её независимо друг от друга практически одновременно.

Вместо записи эф от бэ минус эф от а принято записывать так , её называют двойной подстановкой.

Таким образом, формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в виде:

Для того чтобы вычислить определённый интеграл, необходимо найти первообразную функции, затем выполнить двойную подстановку.

Рассмотрим применение формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла.

Задача 1

Вычислить интеграл от минус одного до трёх икс в кубе дэ икс:

Решение

1. Вычислим первообразную для икс в кубе.

По формуле первообразной степенной функции имеем: икс в четвёртой, делённое на четыре.

2.Подставим найденную первообразную в формулу Ньютона-Лейбница и выполним двойную подстановку.

Получим: 3 в четвёртой степени, делённое на 4 минус минус один в четвёртой степени, делённое на 4. 3 в четвёртой степени — это 81, (-1) в четвёртой степени — это один.

Имеем, 81 четвёртая минус одна четвёртая — это 80 четвёртых или 20.

Таким образом, интеграл от минус одного до трёх икс в кубе дэ икс равен 20.

Рассмотрим некоторые свойства определённого интеграла.

Свойство 1

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Свойство 2

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

Свойство 3

Если а меньше бэ и бэ меньше це, то сумму интеграла от а до цэ эф от икс дэ икс и интеграла от це до бэ эф от икс дэ икс можно записать в виде интеграла от а до бэ эф от икс дэ икс.

Данное свойство называется аддитивным свойством интеграла, его смысл заключается в том, что площадь криволинейной трапеции равна сумме криволинейных трапеций, из которых она составлена.

Задание 2

Вычислить определённый интеграл

Решение

1.Воспользуемся свойством интеграла и разобьём данный интеграл  на сумму и разность интегралов:

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, имеем:

2.Найдём первообразную полученной функции применяя табличные значения первообразной

и , затем сократим два и одну вторую при икс в квадрате:

3.Для простоты решения вычислим отдельно каждый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Подставим полученные значения интегралов в формулу: =48+12-24=36

Таким образом, значение интеграла от минус двух до четырёх (восемь плюс два икс минус икс в квадрате) дэ икс равно 36.

С помощью определённого интеграла можно вычислять не только площадь криволинейной трапеции, но и плоских фигур более сложного вида.

Итак, площадь S(эс) фигуры, ограниченной прямыми , (икс равно а, икс равно бэ) и графиками функций , (игрек равен эф от икс, игрек равен же от икс), непрерывных на отрезке а, бэ  и таких, что (же от икс меньше или равно эф от икс) для всех (икс) из отрезка а, бэ, вычисляется по формуле:

(эс равно интеграл от а до бэ эф от икс минус же от икс дэ икс).

Задание 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение

1. Построим график функции. — прямая, пересекающая ось ординат в точке 6, ось абсцисс в точке -2.На рисунке выделена красным цветом.

2. Построим график функции — парабола, ветви которой идут вниз (так как при икс в квадрате – отрицательный коэффициент). На рисунке график выделен зелёным цветом.

Фигура, площадь которой нужно вычислить, заштрихована.

3. Прямая и парабола пересекаются в точках с координатами (-2;0), (4;6). Абсциссы -2 и 4 будут нижним и верхним пределами интеграла  соответственно.

4. Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле.Так как парабола расположена выше прямой, то будем считать, что функция  меньше функции .

Вычислим первообразную полученной функции, применяя табличные значения первообразной и , упростим полученное выражение: умножая одну вторую на икс в кубе третьих, получим икс в кубе, делённое на шесть.

Имеем, икс в квадрате, делённое на два, минус икс в кубе, делённое на шесть, плюс четыре икс.

5.Последовательно подставляя в формулу  Ньютона-Лейбница  верхний и нижний пределы находим:

Упрощая полученное выражение и приводя подобные слагаемые, получим, что площадь фигуры ограниченной линиями ,  равна 18.