Урок "Формулы понижения степени"

Тригонометрия – это один из важнейших разделов, который изучается в курсе алгебры в 10 классе. Ему уделяется достаточно щедрое количество уроков. Ведь для того, чтобы как следует понять тригонометрию и в теории и на практике, необходимо постоянно решать огромное количество примеров, которые укрепят теорию и позволят расширить навыки выполнения той или иной работы: домашней, контрольной, самостоятельной или просто классной.

Видеурок имеет грамотное составление, все последовательно и логично. Структура является четкой, текст составлен грамотно и понятно для школьного уровня. Данный ресурс поможет сделать процесс изучения темы «Формулы понижения степени» намного интереснее и эффективное. Благодаря визуализации, ученики смогут лучше запомнить формулы, а сопровождению спокойным голосом диктора видеозаписи, запоминание ускориться.

Материал, который рассказывается и рассматривается в ресурсе, составлен специалистами таким образом, чтобы полностью раскрыть тему, не упустить ни один важный момент. Это говорит о том, что его можно смело использовать при составлении планов-конспектов к урокам, что делают молодые учителя в обязательном порядке.

Ранее были рассмотрены уже формулы косинуса, синуса, тангенса суммы аргументов, двойного аргумента. Котангенс в отдельности не рассматривался, ведь его всегда можно представить в виде обратной дроби к тангенсу. В этой видеозаписи будут рассматриваться еще одни важные формулы, с помощью которых можно понизить степень.

В первую очередь выводятся формулы понижения квадрата. Мы видим, как просто можно избавиться от второй степени в косинусе и синусе. Для того чтобы школьники могли понять, откуда взялись эти формулы, следующим шагом диктор подробно рассказывает, все шаги. В первую очередь, стоит вспомнить основную формулу в тригонометрии, гласящую о том, что сумма квадрата синуса и косинуса дает нам единицу. Из этого тождества можно вывести в отдельности и квадрат синуса, и косинуса. Вспомнив формулу косинуса и синуса двойного аргумента, можно понять, откуда появились новые правила.

Заметно, что при выполнении любого шага, мы обращаемся к материалу, который ранее был изучен. Это указывает на важность и взаимосвязанность тем в тригонометрии. Ни в коем случае нельзя упускать те или иные темы и приступить к новым. Материал станет непонятным, ведь будет неизвестно, откуда появились те или иные значения и преобразования. Так как тригонометрия содержит большое количество формул, без которых двигаться дальше невозможно, стоит постепенно их запоминать и изучать новые. Также закреплять материал нужно на практике и получать новые навыки, которые пригодятся в дальнейшем при написании контрольных и семестровых работ.

Видеоурок «Формулы понижения степени» после рассмотрения формул переходит к практическому разбору примеров, что, как было уже сказано, очень важно. Примеры будут понятны, при внимательном просмотре самостоятельно либо вместе с учителем.

В первом примере необходимо найти значение некоторого выражения при определенных условиях. При его решении используется формула понижения градуса косинуса. Чтобы она была на виду, в видеозаписи выводится с правой стороны. Таким образом, у учеников будет возможность повторить и пользоваться ею.

После этого диктор предлагает решить похожий пример, в котором используется формула понижения степени синуса. Его школьники могут самостоятельно решить. Если они поняли предыдущий пример, то справятся и с этим.

В итоге приводится еще один более сложный пример. При ее решении используется формула тангенса. Диктор подробно объясняет решение, после чего выводится ответ.

Видеоурок за короткое время расскажет полностью о том, что такое формулы понижения степени и как ими необходимо пользоваться на практике. 

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Формулы понижения степени

Формулы

cos² х =  (квадрат косинуса икс равен  полу-сумме  единицы и  косинуса двойного аргумента).

sin² х =  (квадрат синуса икс равен  полу-разности  единицы и  косинуса двойного аргумента).

называют формулами понижения степени.

Выведем эти формулы:

Из формулы cos² х + sin² х= 1, из  найдем sin² х:

 sin² х= 1–cos² х

В формуле cos 2x= cos² х – sin² х, значение  sin² х заменим  на  1– cos²х и получим cos² х – (1– cos² х)

при раскрытии скобок получаем cos² х – 1+ cos² х

так как cos² х + cos² х в сумме 2cos² х

получаем, что cos 2x  = 2 cos² х – 1.

cos 2x = cos² х – sin² х  = cos² х – (1–cos² х) = 2 cos² х – 1.

Отсюда выражаем  cos² х

cos 2x +1 = 2 cos² х

cos²х = (квадрат косинуса икс равен  полу-сумме  единицы и  косинуса двойного аргумента).

Мы вывели первую формулу понижения степени для cos² х.

Аналогично выведем и вторую формулу понижения степени для sin² х:

Из формулы cos² х + sin² х= 1, из  найдем  cos² х:

 cos² х = 1 - sin² х

В формуле cos 2x= cos² х – sin² х, значение  cos² х:

 заменим  на   1 - sin² х

  и получим 1 - sin² х– sin² х  

Так как –sin²х –sin²х  в сумме даст –2 sin² х,

получаем, что cos 2x = 1 –2 sin² х.

Отсюда выражаем  sin² х:

переносим единицу с противоположным знаком

cos 2x–1 =  –2 sin² х

меняем знаки на противоположные

1- cos 2x =  2 sin² х

делим на 2 обе части равенства:

sin² х =  (квадрат синуса икс равен  полу-разности  единицы и  косинуса двойного аргумента).

Запомните, формулы, которые мы получили, называют формулами понижения степени.

Такое название было дано из-за того, что в левой части обоих тождеств содержится вторая степень косинуса и синуса, а в правой части – первая степень, т.е  наблюдается понижение степени.

Рассмотрим решение примеров с применением формул понижения степени.

ПРИМЕР 1. Зная, что cosx= –  и  хϵ(π;) (икс принадлежит промежутку от пи до трех пи на два), вычислить cos.

Решение.

Будем использовать формулу понижения степени

квадрат косинуса икс cos²х =, так как , то получим:

 cos² =.

по условию  cosx= – подставив данные в формулу имеем:

cos² = , сделав вычисления в правой части выражения, получим

 cos²=  ,  извлечем корень квадратный из , получим

По условию π х  , следовательно,     . Это значит, что аргумент икс, деленное на два принадлежит второй четверти, где косинус отрицательный. Поэтому cos = −  .

Ответ: cos = −  .

ПРИМЕР 2. Зная, что cosx= –  и  хϵ (π;)

(икс принадлежит промежутку от пи до трех пи на два), вычислить sin.

Решение. Будем использовать формулу понижения степени sin² х =  

sin² =, так как по условию cosx= –

Имеем: sin² =  =  ,  извлечем корень квадратный и получим

sin =  .

По условию π х  , следовательно,     . Это значит, что аргумент икс, деленное на два принадлежит второй четверти, где синус положительный. Поэтому sin =   .

Ответ: sin =   .

ПРИМЕР 3. Зная, что cosx= –  и  хϵ(π;)  (икс принадлежит промежутку от пи до трех пи на два), вычислить tg.

Решение. Зная, что тангенс икс – это отношение синуса икс к косинусу икс, имеем

tg 

 в примерах 1 и 2 мы нашли, что sin =    и cos = − , поэтому

= :(− )  =–5 .

Ответ: tg =–5.