Уроки математики / Видеоурок / Урок "Формулы понижения степени"

Урок "Формулы понижения степени"

Краткое описание документа:

Тригонометрия – это один из важнейших разделов, который изучается в курсе алгебры в 10 классе. Ему уделяется достаточно щедрое количество уроков. Ведь для того, чтобы как следует понять тригонометрию и в теории и на практике, необходимо постоянно решать огромное количество примеров, которые укрепят теорию и позволят расширить навыки выполнения той или иной работы: домашней, контрольной, самостоятельной или просто классной.

Видеурок имеет грамотное составление, все последовательно и логично. Структура является четкой, текст составлен грамотно и понятно для школьного уровня. Данный ресурс поможет сделать процесс изучения темы «Формулы понижения степени» намного интереснее и эффективное. Благодаря визуализации, ученики смогут лучше запомнить формулы, а сопровождению спокойным голосом диктора видеозаписи, запоминание ускориться.

Урок "Формулы понижения степени"

Материал, который рассказывается и рассматривается в ресурсе, составлен специалистами таким образом, чтобы полностью раскрыть тему, не упустить ни один важный момент. Это говорит о том, что его можно смело использовать при составлении планов-конспектов к урокам, что делают молодые учителя в обязательном порядке.

Ранее были рассмотрены уже формулы косинуса, синуса, тангенса суммы аргументов, двойного аргумента. Котангенс в отдельности не рассматривался, ведь его всегда можно представить в виде обратной дроби к тангенсу. В этой видеозаписи будут рассматриваться еще одни важные формулы, с помощью которых можно понизить степень.

В первую очередь выводятся формулы понижения квадрата. Мы видим, как просто можно избавиться от второй степени в косинусе и синусе. Для того чтобы школьники могли понять, откуда взялись эти формулы, следующим шагом диктор подробно рассказывает, все шаги. В первую очередь, стоит вспомнить основную формулу в тригонометрии, гласящую о том, что сумма квадрата синуса и косинуса дает нам единицу. Из этого тождества можно вывести в отдельности и квадрат синуса, и косинуса. Вспомнив формулу косинуса и синуса двойного аргумента, можно понять, откуда появились новые правила.

Заметно, что при выполнении любого шага, мы обращаемся к материалу, который ранее был изучен. Это указывает на важность и взаимосвязанность тем в тригонометрии. Ни в коем случае нельзя упускать те или иные темы и приступить к новым. Материал станет непонятным, ведь будет неизвестно, откуда появились те или иные значения и преобразования. Так как тригонометрия содержит большое количество формул, без которых двигаться дальше невозможно, стоит постепенно их запоминать и изучать новые. Также закреплять материал нужно на практике и получать новые навыки, которые пригодятся в дальнейшем при написании контрольных и семестровых работ.

Видеоурок «Формулы понижения степени» после рассмотрения формул переходит к практическому разбору примеров, что, как было уже сказано, очень важно. Примеры будут понятны, при внимательном просмотре самостоятельно либо вместе с учителем.

В первом примере необходимо найти значение некоторого выражения при определенных условиях. При его решении используется формула понижения градуса косинуса. Чтобы она была на виду, в видеозаписи выводится с правой стороны. Таким образом, у учеников будет возможность повторить и пользоваться ею.

После этого диктор предлагает решить похожий пример, в котором используется формула понижения степени синуса. Его школьники могут самостоятельно решить. Если они поняли предыдущий пример, то справятся и с этим.

В итоге приводится еще один более сложный пример. При ее решении используется формула тангенса. Диктор подробно объясняет решение, после чего выводится ответ.

Урок "Формулы понижения степени"

Видеоурок за короткое время расскажет полностью о том, что такое формулы понижения степени и как ими необходимо пользоваться на практике. 

 

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Формулы понижения степени

Формулы

cos2 х =  (квадрат косинуса икс равен  полу-сумме  единицы и  косинуса двойного аргумента).

sin2 х =  (квадрат синуса икс равен  полу-разности  единицы и  косинуса двойного аргумента).

называют формулами понижения степени.

Выведем эти формулы:

Из формулы cos2 х + sin2 х= 1, из  найдем sin2 х:

 sin2 х= 1–cos2 х

В формуле cos 2x= cos2 х – sin2 х, значение  sin2 х заменим  на  1– cos2х и получим cos2 х – (1– cos2 х)

при раскрытии скобок получаем cos2 х – 1+ cos2 х

так как cos2 х + cos2 х в сумме 2cos2 х

получаем, что cos 2x  = 2 cos2 х – 1.

cos 2x = cos2 х – sin2 х  = cos2 х – (1–cos2 х) = 2 cos2 х – 1.

Отсюда выражаем  cos2 х

cos 2x +1 = 2 cos2 х

cos2х = (квадрат косинуса икс равен  полу-сумме  единицы и  косинуса двойного аргумента).

Мы вывели первую формулу понижения степени для cos2 х.

Аналогично выведем и вторую формулу понижения степени для sin2 х:

Из формулы cos2 х + sin2 х= 1, из  найдем  cos2 х:

 cos2 х = 1 - sin2 х

В формуле cos 2x= cos2 х – sin2 х, значение  cos2 х:

 заменим  на   1 - sin2 х

  и получим 1 - sin2 х– sin2 х  

Урок "Формулы понижения степени"

Так как –sin2х –sin2х  в сумме даст –2 sin2 х,

получаем, что cos 2x = 1 –2 sin2 х.

Отсюда выражаем  sin2 х:

переносим единицу с противоположным знаком

cos 2x–1 =  –2 sin2 х

меняем знаки на противоположные

1- cos 2x =  2 sin2 х

делим на 2 обе части равенства:

sin2 х =  (квадрат синуса икс равен  полу-разности  единицы и  косинуса двойного аргумента).

Запомните, формулы, которые мы получили, называют формулами понижения степени.

Такое название было дано из-за того, что в левой части обоих тождеств содержится вторая степень косинуса и синуса, а в правой части – первая степень, т.е  наблюдается понижение степени.

Рассмотрим решение примеров с применением формул понижения степени.

ПРИМЕР 1. Зная, что cosx= –  и  хϵ(π;) (икс принадлежит промежутку от пи до трех пи на два), вычислить cos.

Решение.

Будем использовать формулу понижения степени

квадрат косинуса икс cos2х =, так как , то получим:

 cos2 =.

по условию  cosx= – подставив данные в формулу имеем:

cos2 = , сделав вычисления в правой части выражения, получим

 cos2=  ,  извлечем корень квадратный из , получим

По условию π х  , следовательно,     . Это значит, что аргумент икс, деленное на два принадлежит второй четверти, где косинус отрицательный. Поэтому cos = −  .

Ответ: cos = −  .

ПРИМЕР 2. Зная, что cosx= –  и  хϵ (π;)

(икс принадлежит промежутку от пи до трех пи на два), вычислить sin.

Урок "Формулы понижения степени"

Решение. Будем использовать формулу понижения степени sin2 х =  

sin2 =, так как по условию cosx= –

Имеем: sin2 =  =  ,  извлечем корень квадратный и получим

sin =  .

По условию π х  , следовательно,     . Это значит, что аргумент икс, деленное на два принадлежит второй четверти, где синус положительный. Поэтому sin =   .

Ответ: sin =   .

ПРИМЕР 3. Зная, что cosx= –  и  хϵ(π;)  (икс принадлежит промежутку от пи до трех пи на два), вычислить tg.

Решение. Зная, что тангенс икс – это отношение синуса икс к косинусу икс, имеем

tg 

 в примерах 1 и 2 мы нашли, что sin =    и cos = − , поэтому

= :(− )  =–5 .

Ответ: tg =–5.

Автор
Дата добавления 27.07.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Видеоурок
Просмотров1920
Номер материала 848
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.