Урок "Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и графики"

В этом видеуроке рассмотрены свойства функций у = tgx, y = ctgx, показано, как построить их графики.

Видеоурок начинается с рассмотрения функции у = tgx.

Выделены свойства функции.

1) Областью определения функции у = tgxназываются все действительные числа, за исключением х = π/2 +2 πk. Т.е. на графике нет точек, которые принадлежат прямой х = π/2 и х = – π/2, а также х =  3π/2 и так далее (с той же периодичностью). Значит, график функции  у = tgxбудет состоять из бесконечного множества ветвей, которые будут находиться в промежутках между прямыми х = –3π/2 и х = –π/2 , х = –π/2  и х =  π/2  и так далее.

2) Функция у = tgxявляется периодической, где основной период равенπ. Это подтверждает равенство tg (x – π)=tg x = tg (x + π).Эти равенства изучались ранее, автор предлагает ученикам вспомнить их, указывая, что для любого допустимого значения tсправедливы равенства:

tg (t + π) = tg t, и ctg (t + π) =ctg t. Следствием этих равенств является то, что, если построена одна ветвь графика функции у = tgxв промежутке между прямыми х = –π/2  и х =  π/2 , то остальные ветви можно получить  путем сдвига этой ветви по оси х на π, 2π и так далее.

3)  Функция у = tgxявляется нечетной, т.к. tg (–x) = – tg x.

Далее перейдем к построению графика функции у = tgx. Как следует из свойств функции, описанных выше, функция у = tgx периодическая и нечетная. Поэтому достаточно построить часть графика – одну ветвь в одном промежутке, а затем воспользоваться симметрией для переноса. Автор приводит таблицу, в которой рассчитываются значения  tgx при определенных значениях xдля более точного построения графика. Данные точки отмечаются на оси координат и соединяются плавной линией. Т.к. график симметричен относительно начала координат, то строится такая же ветвь, симметричная началу координат. В результате получаем одну ветвь графика у = tgx. Далее с помощью сдвига по оси х наπ, 2 πи так далее получается график у = tgx.

График функции у = tgx называется тангенсоида, а три ветви графика, показанные на рисунке – главные ветви тангенсоиды.

4) Функция у = tgx на каждом из промежутков (–  + ;  + ) возрастает.

5) График функции у = tgx не имеет ограничений сверху и снизу.

6) Функция у = tgx не имеет наибольшего и наименьшего значения.

7) Функция у = tgx непрерывна на любом промежутке (-–π/2+π;π/2+π). Прямая π/2+π называется асимптотой графика функции у = tgx, т.к. в этих точках график функции прерывается.

8) Множеством значений функции у = tgxназываются все действительные числа.

Далее в видеоуроке дается пример: решить уравнение с tgx. Для решения построим 2 графика функции у  и найдем точки пересечения этих графиков: это бесконечное множество точек, абсциссы которых отличаются на πk. Корнем  данного уравнения будет  х = π/6 +πk.

Рассмотрим график функции у = ctgx. График функции можно построить двумя способами.

Первый способ предполагает построение графика аналогично построению графика функции у = tgx. Построим одну ветвь графика функции у = сtgxв промежутке между прямыми х = 0и х = π. Затем с помощью симметрии и периодичности построим другие ветви графика.

Второй способ более простой. График функции у = сtgxможно получить путем преобразования тангенсоиды с помощью формулы приведения сtgx = – tg (x + π/2). Для этого сдвинем одну ветвь графика функции у = tgxвдоль оси абсцисс на π/2вправо. Остальные ветви получаем путем сдвига этой ветви по оси х наπ, 2π и так далее. График функции у = ctgx называется также тангенсоида, а ветвь графика в промежутке (0;π) – главная ветвь тангенсоиды.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Мы рассмотрим свойства функции у = tg x ( игрек равно тангенс икс), у = ctg x( игрек равно котангенс икс), построим их графики. Рассмотрим функцию  y = tgx

Прежде, чем строить график функции у = tg x, запишем свойства этой функции.

СВОЙСТВО 1. Областью определения функции у = tg x являются все действительные числа, кроме чисел вида х =  + πk (икс равен сумме пи на два и пи ка).

Это значит, что на графике этой функции нет точек, которые принадлежат прямой х =  ( получаем, если k= 0 ка равно нулю) и прямой х =  ( икс равно минус пи на два ) (получаем, если k=  - 1 ка равно минус одному), и прямой х =   ( икс равно три пи на два ) (получаем, если k=  1 ка равно одному) и т. д. Значит график функции у = tg x будет состоять из бесконечного множества ветвей, которые будут находиться в промежутках между прямыми. А именно в полосе между х =  и х =-  ; в полосе х =-   и х =  ; в полосе х =   и х = и так до бесконечности.

СВОЙСТВО 2. Функция у = tg x является периодической с основным периодом π. (Так как справедливо двойное равенство

 tg( x– π) = tgx = tg (x+π)  тангенс от икс минус пи равен тангенсу икс и равен тангенсу от икс плюс пи).  Это равенство мы рассматривали при изучении тангенса и котангенса. Напомним его:

Для любого допустимого значения t справедливы равенства:

tg (t + π)= tgt

ctg (t + π) = ctgt

Из этого равенства следует, что, построив ветвь  графика функции у = tg x в промежутке  от х =-   и х = ,  мы получим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси Х  на π, 2π, и так далее.

СВОЙСТВО 3. Функция у = tg x является нечетной функцией, так как справедливо равенство tg ( - x) = - tg x.

Построим  график функции у = tg x

Так как эта функция периодическая, состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между х =  и х =  , а также в полосе между х =  и х =  и т.д.) и нечетная, то построим по точкам часть графика на промежутке от нуля до пи на два (), затем воспользуемся симметрией начала координат и периодичностью.

Построим таблицу значений тангенса для построения графика.

Находим первую точку: зная, что при х = 0 tg x = 0( икс равном нулю тангенс икс тоже равен нулю); следующая точка: при х =  tg x =  ( икс равном пи на шесть тангенс икс равен корень из трех на три); отметим следующие точки: при х =  tg x = 1 (икс равном пи на четыре  тангенс икс равен единице), а при  х =  tg x = ( икс равном пи на три  тангенс икс равен корню квадратному из трех).  Отметив полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией (рис. 2).

Так как график функции симметричен относительно начала координат,  то построим такую же ветвь симметрично начала координат. (рис.3).

И, наконец, применив периодичность, получим график функции у = tg x.

Мы построили ветвь  графика функции у = tg x в полосе  от х =-   и х = . Строим остальные ветви  путем сдвига построенной ветви по оси Х  на π, 2π, и так далее.

Построенный график называется тангенсоида.

Изображенную на рисунке 3 часть тангенсоиды называют главной ветвью тангенсоиды.

На основании  графика запишем еще свойства этой функции.

СВОЙСТВО 4. Функция у = tg x возрастает на каждом из промежутков (от минус пи на два плюс пи ка до пи на два плюс пи ка).

СВОЙСТВО 5. Функция у = tg x не ограничена ни сверху, ни снизу.

СВОЙСТВО 6. Функция у = tg x не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

СВОЙСТВО 7. Функция у = tg x непрерывна на любом интервале вида ( от минус пи на два плюс пи ка до пи на два плюс пи ка).

Прямая вида х =  + πk (икс равно сумме пи на два и пи ка) является вертикальной асимптотой графика функции, так как в точках вида х =  + πk функция терпит разрыв.

СВОЙСТВО 8. Множеством  значений функции у = tg x являются  все действительные числа, то есть ( е от эф равно промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности).

ПРИМЕР 1. Решить уравнение tg x =  (тангенс икс равен корень из трех на три).

Решение. Построим в одной системе координат графики функций у = tg x

(игрек равен тангенсу икс) и у =   ( игрек равен корню из трех, деленному на три).

Получили бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых отличаются друг от друга на πk ( пи ка).Так как tg x =  при х =  , то абсцисса точки пересечения на главной ветви  равна  ( пи на шесть).

Все решения данного уравнения запишем  формулой х =  + πk ( икс равно пи на шесть плюс пи ка).

Ответ: х =  + πk.

Построим  график функции у = сtg x.

Рассмотрим два способа построения.

Первый способ аналогичен построению графика функции у = tg x.

Так как эта функция периодическая, состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между х = 0 и х =π , а также в полосе между х =π и х = 2π и т.д.) и нечетная, то построим по точкам часть графика на промежутке от нуля до пи на два (), затем воспользуемся симметрией и периодичностью.

Воспользуемся таблицей значений котангенса для построения графика.

Отметив полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Так как график функции симметричен относительно ,  то построим такую же ветвь симметрично  .

Применим периодичность, получим график функции у = сtg x.

Мы построили ветвь  графика функции у = сtg x в полосе  от х = 0 и х =π. Строим остальные ветви  путем сдвига построенной ветви по оси x  на π, – π, 2π, – 2π и так далее.

Второй способ построения графика функции у =сtg x.

Получить график функции у =сtg x проще всего с помощью преобразования тангенсоиды, используя формулу приведения ( котангенс икс равно минус тангенс от суммы икс и пи на два).

 При этом сначала, сдвинем ветвь графика функции  у =tg x вдоль оси абсцисс на  вправо, получим

у = tg (x+ ), а затем выполняем симметрию полученного графика относительно оси абсцисс. В результате получится ветвь графика функции у =сtg x (рис.4). Зная одну ветвь,  можем построить весь график используя периодичность функции. Строим остальные ветви  путем сдвига построенной ветви по оси x  на π, 2π, и так далее.

График функции   у =сtg x называется тоже тангенсоида, как и график функции у =tg x. Ветвь, которая заключена в промежутке от нуля до пи, называют главной ветвью графика функции у =сtg x.