Урок «Функция у=log_а%U2061х,ее свойства и график»

Повторим определение логарифма:   (логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, что бы получить подлогарифмическое выражение).

Рассмотрим одновременно две функции:  показательную -  и логарифмическую – у= .

Если точка (m;n) (рис.1) принадлежит графику показательной функции –  то выполняется равенство . Запишем это равенство, используя определение логарифма m=(эм равно логарифму числа эн по основанию а). Из этого равенства следует, что точка (n;m) принадлежит графику логарифмической функции у=. Ранее при изучении функции у=  (игрек равно корень энной степени из икс) была доказана теорема о симметричности точек (m;n) и (n;m) относительно прямой (игрек равняется икс) у=х, значит, справедливо утверждение:

График логарифмической функции у=

симметричен графику показательной функции   относительно прямой у=х (игрек равен икс)

Изобразим схематически графики логарифмической и показательной функций при  

и  при  (при а меньшем единицы, но большем нуля):

График логарифмической функции называют логарифмической кривой.

Построим график логарифмической функции с основанием три

(логарифм это показатель степени, в которую нужно возвести основание, что бы получить подлогарифмическое выражение), т.е..

Отметив на координатной плоскости точки из таблицы, проведем через них логарифмическую кривую. (Рис.2)

Используя построенный график, укажем свойства логарифмических функций с основанием большим единицы

1.      D(f)=область определения — интервал от нуля до плюс бесконечности)
2.      E(f)=область значения – множество всех действительных чисел
3.      Функция не является ни четной, ни нечетной.
4.      Возрастает на на всей области определения)
5.      Не ограничена сверху, не ограничена снизу.
6.      Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
7.      Непрерывна.
8.      Выпукла вверх.

Построим график функции у=

(рис.3)

Используя построенный график, укажем свойства логарифмических функций с основанием меньшим единицы, но большим нуля

1.      D(f)=область определения — интервал от нуля до плюс бесконечности).
2.      E(f)=область значения – множество всех действительных чисел.
3.      Не является ни четной, ни нечетной.
4.      Убывает на на всей области определения)
5.      Не ограничена сверху, не ограничена снизу.
6.      Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
7.      Непрерывна.
8.      Выпукла вниз.

Заметим, что ось ординат является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции с любым допустимым основанием.

Пример 1: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке: (икс принадлежит отрезку от одной третьей до девяти).

Так как основание логарифмической функции  больше единицы, то данная функция непрерывна и возрастает на всей области определения, следовательно, и на указанном интервале. Значит, наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах заданного отрезка. Найдем  : для этого вместо икса подставим   и используем формулу, которую мы выделили при изучении понятия логарифма:

(логарифм числа а в степени эм по основанию а равен эм) получим

Подставив вместо икса 9, найдем 

Пример 2: Решите неравенство  

Рассмотрим функции у=.

1)Чтобы найти абсциссу точки пересечения их графиков, решим уравнение

2) Построим график функции у= (рис.4)

Таблица для графика у=

График функции (игрек равен логарифм числа икс по основанию два) расположен ниже прямой у=1 при икс меньшем двух.

3) Запишем ответ

Пример 3: решите неравенство 

В одной системе координат построим графики функций

(игрек равен логарифм числа икс по основанию два и игрек равен минус икс плюс один) (рис.5)

Таблица для графика у=

Графиком функции  является прямая, которая проходит через точки (0;1) и (1;0).

Мы видим, что график функции у= расположен выше графика функции   , при икс большем либо равном единице.  

Ответ

Пример 4: Постройте график функции

Построим вспомогательную систему координат, для этого ось абсцисс перенесем вправо на четыре единичных отрезка, т.е. построим прямую х′=4, а

ось ординат поднимем на два единичных отрезка вверх, т.е. построим прямую у′=2. В новой системе построим график функции у=

(рис.6)

Таблица для графика у=

Пример 5: построить график функции и указать его свойства

У=

Построим график функции у= при  (игрек равен три в степени икс, при икс больше единицы)

В этой же системе координат построим график функции и

у= (игрек равен логарифм числа икс по основанию одна третья, при икс меньшем либо равном единице)

Рис. 7

Укажем свойства данной функции:

1.      D(f)= (область определения интервал от нуля до плюс бесконечности).
2.      Не является ни четной, ни нечетной.
3.      Убывает на интервале  (от нуля до единицы включительно), возрастает на интервале  (1;+ (от единицы до плюс бесконечности).
4.      Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5.      Наибольшего значения не принимает, наименьшее значение

     (равно нулю при икс равном единице)

6.      Функция претерпевает разрыв в точке х=1, а в остальных точках она непрерывна.
7.      E(f)= (область значения — луч от нуля до плюс бесконечности).

Выпукла вниз на промежутках