Уроки математики / Видеоурок / Урок "Функция y=x^2. Степенная функция с четным показателем"

Урок "Функция y=x^2. Степенная функция с четным показателем"

Краткое описание документа:

Изучим формулы для нахождения площади квадрата и объема куба. Согласно геометрическим законам, площадь квадрата равна квадрату его стороны, а объем куба равен кубу его ребра. В линейном виде:

S = а2

V = а3

Урок "Функция y=x^2. Степенная функция с четным показателем"

Где а – это, соответственно, сторона квадрата и ребро куба. Легко понять, что данные формулы соответствуют некоторым зависимостям. Действительно, площадь квадрата зависит от значения его стороны, а объем куба зависит от показателя его ребра. Каждая из этих зависимостей формирует функции:

S = f(а)

V = f(а)

В первом случае функция квадратичная, а во втором – кубическая. Мы можем записать эти геометрические формулы в виде абстрактных математических выражений, являющихся линейными аналитическими функциями:

S = f(а) преобразуем в у = а2

V = f(а) преобразуем в у= а3

Урок "Функция y=x^2. Степенная функция с четным показателем"

Любые функции, которые представляют собой зависимость между множеством аргументов, имеющих определенную степень, и множеством соответствующих значений именуются степенными функциями. Общая формула для данного типа зависимостей имеет вид:

у = (х)n

Где n – некая натуральная степень аргумента, являющаяся определителем всего степенного порядка данной функции. Следует заметить, что в частном случае при n = 1, степенная функция вырождается в линейную зависимость:

у = (х)n

у = (х)1 = х

у = х

Для того, чтобы лучше передать свойства степенной функции, видеоурок представляет несколько основных тезисов на примере обычной квадратичной зависимости. Предположим, у нас есть функция вида:

у = х2

Урок "Функция y=x^2. Степенная функция с четным показателем"

Это квадратичная зависимость: каждое значение у соответствует квадрату аргумента. График функции проходит через центр координат (0, 0), так как при значении х = 0, функция так же приобретает нулевое значение, то есть точка координат (0, 0) принадлежит графику данной зависимости.

Как известно их видеоуроков, посвященных степеням, возведение в квадрат (или, в общем, четную степень) любого выражения удаляет знак «минус», превращая выражение в полностью положительное. Иначе говоря, не существует квадратов каких-либо чисел, которые имеют отрицательное значение. Из формулы нашей зависимости видно, что при любом, даже отрицательном значении аргумента у всегда будет положителен. Это означает, что область значений функции лежит в положительной части множества чисел, включая также нулевую точку. При этом область определения аргумента распространяется на все числовое множество.
График функции должен пролегать в первой (х, у), или во второй (-х, у) четвертях системы координат.

Квадратичная зависимость выявляет ещё одну закономерность. Подставим в формулу нашей функции как аргумент любую пару одинаковых чисел, имеющих противоположное значение, то есть а и –а:

у = х2

у = (+а)2 = а2

у = (-а)2 = а2

Как мы видим, пара полярных аргументов выдает одинаковое значение функции. Из правил извлечения квадратного корня известно, что любой реальный корень из числа а всегда имеет два значения – это пара одинаковых чисел, имеющих противоположные знаки. Применимо к свойствам квадратичной функции можно выразить так: каждому значению функции у = х2 соответствует пара аргументов х и –х. На графике зависимости это проявляется в симметричности относительно оси ординат. Расчитаем координатную сетку для функции у = х2 в интервале х (-2, у) (2, у):

у = х2

х = -2, у = (-2)2 = 4

х = -1, у = (-1)2 = 1

х = 0, у = (0)2 = 0

х = 1, у = (1)2 = 1

х = 2, у = (2)2 = 4

Урок "Функция y=x^2. Степенная функция с четным показателем"

Построим график при помощи данной таблицы. Квадратичная функция дает возможность визуализировать особую математическую кривую, именуемую параболой. Парабола представляет собой две симметричные кривые, соединенные общей точкой – вершиной. В случае функции у = х2 парабола имеет вершину в центре координат, и ветви, направленные вдоль оси ординат вверх, в бесконечное множество значений у.

Все вышеописанные правила прекрасно работают с любыми четными функциями, то есть для зависимостей вида:

у = (х)n

где n – натуральное четное число. Если мы построим график функции четвертой степени:

у = (х)4,

то увидим, что он представлен похожей параболой. Отличие от графика квадратичной функции будет заключаться лишь в том, что парабола четвертой степени имеет более сжатый вид – её ветви тяготеют к оси ординат. Математически можно сказать иначе: даже при сравнительно малых значениях аргумента значение функции очень резко начинает возрастать. Соответственно, чем больше степень функции, тем быстрее будет прирастать значение у, тем более сжатой будет парабола.


 

Автор
Дата добавления 02.08.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Видеоурок
Просмотров1892
Номер материала 472
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.