Уроки математики / Видеоурок / Урок "Функция y=x^3. Степенная функция с нечетным показателем"

Урок "Функция y=x^3. Степенная функция с нечетным показателем"

Краткое описание документа:

Все алгебраические зависимости, имеющие вид у = (х)n именуются степенными функциями. Любая степенная функция представляет собой некоторую формулу взаимосвязи между двумя числовыми множествами, одно из которых представляет собой набор чисел другого множества, возведенные в определенную степень. В предыдущем видеоматериале мы ознакомились с общими принципами степенных зависимостей, а также изучили квадратичную функцию как представителя класса четных степенных функций.

Урок "Функция y=x^3. Степенная функция с нечетным показателем"

Следует отметить, что из-за особых свойств степени любая степенная функция (как и многие другие математические конструкции) весьма зависит от четности самой степени. По этому признаку бесконечное множество степенных зависимостей можно поделить на две группы: четные и нечетные степенные функции. При этом разница между свойствами этих групп может быть довольно заметной.

Изучим функцию с нечетной степенью. Исключая вариант вырожденной степенной зависимости (с n = 1), простейшая функция с нечетной степенью имеет вид:

у = х3

Подобная зависимость именуется кубической функцией. На практике она часто представлена формулой нахождения объема куба:

V = а3

Урок "Функция y=x^3. Степенная функция с нечетным показателем"

Первое свойство кубической зависимости вполне схоже с подобным свойством квадратичной функции – при нулевом значении аргумента значение самой функции так же будет равно нулю. На графике это обозначено принадлежностью центральной точки (0, 0) графику и кубической, и квадратной функций.

Дальше начинаются расхождения, вызванные нечетностью степени. Как известно, любая четная степень превращает выражение в строго положительное. А любая нечетная сохраняет исходный знак. Если аргумент кубической функции равен отрицательному числу, то и значение функции будет отрицательным. При положительных значениях аргумента, у также будет положительным. А это значит, что график кубической функции начинается в третьей четверти (-х, -у), и проходит через центр координат в первую четверть (х, у). Собственно говоря, начала и конца предполагаемая кривая иметь не будет – её концы уходят в бесконечность. Так как и область определения кубической функции, и область её значений лежат во всем множестве действительных чисел.

Третье свойство кубической зависимости гласит: любым противоположным аргументам х соответствуют противоположные значения у. Например, если а=2, с=-2, то:

у = х3 = а3

у = (2)3 = 8

у = (-2)3 = -8

Таким образом, график данной функции должен быть симметричным точке пересечения координатных осей, то есть – центру системы Декарта.

Для того, чтобы изучить график кубической зависимости, представленный на видео, построим его при помощи данной координационной сетки, воспользовавшись интервалом х (-2, у) (2, у):

у = х3

х = -2, у = (-2)3 = -8

х = -1, у = (-1)3 = -1

х = 0, у = (0)3 = 0

х = 1, у = (1)3 = 1

х = 2, у = (2)3 = 8

Урок "Функция y=x^3. Степенная функция с нечетным показателем"

Отметив все точки и соединив их плавной кривой, мы получим искомый график кубической функции. Он представлен математической фигурой, именуемой кубической параболой. Она немного похожа на квадратичную: так же состоит из двух ветвей, тяготеющих к оси ординат, и общего центра, соединяющего ветви, и называемого вершиной параболы. В формулах без дополнительных коэффициентов (в чистых степенных функциях) вершина параболы всегда лежит в точке пересечения осей (0, 0).

Однако при этом правая ветвь кубической параболы идет от О по первой четверти вверх, а левая – симметрично, от точки О, в третью четверть, вниз. Обе устремляются во множество у.

Урок "Функция y=x^3. Степенная функция с нечетным показателем"

Любая степенная функция, имеющая нечетную степень аргумента, обладает такими же свойствами, как и кубическая. Графики степенных нечетных зависимостей схожи между собой – они представлены кубическими параболами. При повышении степени ветви графика меняются неравномерно: части параболы на интервалах от (-1, у) до (1, у) тяготеют к оси абсцисс, а остальные части (от единичного аргумента в бесконечность) – к оси ординат. Это поясняется тем, что аргументы, значение которых лежит между 0 и 1, сильно уменьшаются высокими степенями, и выходное значение у стремится к нулю. С другой стороны, все х, которые больше 1, дают очень быстрый прирост значениям функций при высокой степени.

Автор
Дата добавления 02.08.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Видеоурок
Просмотров2027
Номер материала 473
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.