Урок "Функция y=sinx, ее свойства и график"

Видеоурок «Функция y = sinx, ee свойства и график» представляет наглядный материал по данной теме, а также комментарии к нему. В ходе демонстрации рассматривается вид функции, ее свойства, подробно расписывается поведение на различных отрезках координатной плоскости, особенности графика, описывается пример графического решения тригонометрических уравнений, содержащих синус. С помощью видеоурока учителю легче сформировать понятие у ученика о данной функции, научить решать задачи графическим способом.

В видеоуроке применяются средства, с помощью которых облегчается запоминание и понимание учебной информации. В представлении графиков и при описании решении задач используются анимационные эффекты, которые помогают понять поведение функции, представить ход решения последовательно. Также озвучивание материала дополняет его важными комментариями, которые заменяют объяснение учителя. Таким образом, данный материал может применяться и как наглядное пособие. И в качестве самостоятельной части урока вместо объяснения учителя по новой теме.

Демонстрация начинается с представления темы урока. Представляется функция синус, описание которой выделено в рамку для запоминания – s=sint, в которой аргумент tможет быть любым действительным числом. Описание свойств данной функции начинается с области определения. Отмечается, что областью определения функции является вся числовая ось действительных чисел, то есть D(f)=(- ∞;+∞). В качестве второго свойства выделяется нечетность функции синуса. Ученикам напоминается, что данное свойство изучалось в 9 классе, когда отмечалось, что для нечетной функции выполняется равенство f(-x)=-f(x). Для синуса подтверждение нечетности функции демонстрируется на единичной окружности, разбитой на четверти. Зная, какой знак принимает функция в разных четвертях координатной плоскости, отмечается, что для аргументов с противоположными знаками на примере точек L(t) и N(-t) для синуса выполняется условие нечетности. Поэтому s=sint – нечетная функция. Это означает симметричность графика функции относительно начала координат.

Третье свойство синуса демонстрирует промежутки возрастания и убывания функции. В нем отмечается, что на отрезке [0;π/2] данная функция возрастает, на отрезке [π/2;π] убывает. Свойство демонстрируется на рисунке, на котором изображена единичная окружность и при движении от точки А против часовой стрелки ордината растет, то есть возрастает значение функции до π/2. При движении от точки В до С, то есть при изменении угла от π/2 до π значение ординаты уменьшается. В третьей четверти окружности при движении от точки С до точки Dордината убывает от 0 до -1, то есть значение синуса убывает. В последней четверти при движении от точки Dдо точки А значение ординаты возрастает от -1 до 0. Таким образом можно сделать общий вывод о поведении функции. На экране отображается вывод, что sint возрастает на отрезке [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], убывает на отрезке [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] для любого целого k.

Четвертое свойство синуса рассматривает ограниченность функции. Отмечается, что функция sint является ограниченной и сверху, и снизу. Ученикам напоминается сведения из алгебры 9 класса, когда они познакомились с понятием ограниченности функции. На экран выводится условие ограниченной сверху функции, для которой существует некоторое число, для которого выполняется неравенство  f(x)>=М в любой точке функции. Также напоминается условие ограниченной снизу функции, для которой существует число m, меньшее каждой точки функции. Для sint выполняется условие -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

В пятом свойстве рассматривается наименьшее и наибольшее значения функции. Отмечается достижение наименьшего значения -1 в каждой точке t=-(π/2)+2πk, а наибольшего – в точках t=(π/2)+2πk.

На основе рассмотренных свойств производится построение графика функции sint на отрезке [0; π]. Для построения функции используются табличные значения синуса соответствующих точках. На координатной плоскости отмечаются координаты точек π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Отметив табличные значения функции в данных точках и соединив их плавной линией, строим график.

Для построения графика функции sint на отрезке [-π;π] используется свойство симметрии функции относительно начала координат. На рисунке видно, как полученная в результате построения линия плавно переносится симметрично относительно начала координат на отрезок [-π;0].

Используя свойство функции sint, выраженное в формуле приведения sin(х+2π)= sin х, отмечается, что через каждые 2π график синуса повторяется. Таким образом, на отрезке [π; 3π] график будет такой же, как на [-π;π]. Таким образом, график данной функции представляет собой повторяющиеся фрагменты [-π;π] на всей области определения. Отдельно отмечено, что такой график функции называется синусоидой. Также вводится понятие волны синусоиды – фрагмента графика, построенного на отрезке [-π;π], и арки синусоиды, построенной на отрезке [0;π]. Данные фрагменты еще раз демонстрируются для запоминания.

Отмечается, что функция sint является непрерывной функцией на всей области определения, а также, что область значений функции заключается в множестве значений отрезка [-1;1].

В конце видеоурока рассматривается графическое решение уравнения sin х=х+π. Очевидно, что графическим решением уравнения будет пересечение графика функции, данной выражением в левой части и функции, данной выражением в правой части. Для решения задачи строится координатная плоскость, на которой очерчивается соответствующая синусоида у=sin х, а также строится прямая, соответствующая графику функции у=х+π. Построенные графики пересекаются в единственной точке В(-π;0). Поэтому х=-π и будет решением уравнения.

Видеоурок «Функция y = sinx, ee свойства и график» поможет повысить эффективность урока традиционного урока математики в школе. Также использовать наглядный материал можно при выполнении дистанционного обучения. Пособие может помочь освоить тему ученикам, которым требуются дополнительные занятия для более глубокого понимания материала.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Тема нашего занятия «Функция у = sin x, ее свойства и график».

Ранее мы уже познакомились с функцией s = sin t, где tϵR (эс равно синус тэ, где тэ принадлежит множеству действительных чисел). Изучим свойства этой функции:

СВОЙСИВО 1.Область определения – множество действительных чисел R (эр), то есть D(f) = ( -  ; + ) (дэ от эф представляет промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности).

СВОЙСТВО 2. Функция s = sin t  является нечетной.

На уроках в 9 классе мы изучили, что функция у = f (x), х ϵХ ( игрек равно эф от икс, где икс принадлежит множеству икс большое) называется нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство

f (- x) = - f (x)( эф от минус икс равно минус эф от икс).

А так как ординаты у симметричных относительно оси абсцисс точек  L и N противоположны, то sin(- t) = -sint.

То есть s = sin t  - нечетная функция и график функции s = sin t  симметричен относительно начала координат в прямоугольной системе координат  tOs( тэ о эс).

 Рассмотрим СВОЙСТВО 3. На отрезке  [ 0;  ] ( от нуля до пи на два) функция s = sin t  возрастает, а убывает на отрезке [; ]( от пи на два до пи).

Это хорошо видно по рисункам: при движении точки по числовой окружности от нуля до пи на два ( от точки А до В)ордината постепенно увеличивается от 0 до 1, а при движении от пи на два до пи ( от точки В до С) ордината постепенно уменьшается от 1 до 0.

При движении точки по третьей четверти ( от точки С до точки D) ордината движущейся точки уменьшается от нуля до минус единицы, а при движении по четвертой четверти -- ордината увеличивается от минус единицы до нуля. Поэтому можно сделать общий вывод: функция s = sin t  возрастает на отрезке

( от минус пи на два плюс два пи ка до пи на два плюс два пи ка), а убывает на отрезке [; ( от пи на два плюс два пи ка до трех пи на два плюс два пи ка), где

( ка  принадлежит множеству целых чисел).

СВОЙСТВО 4. Функция   s = sin t    ограничена сверху и снизу.

Из курса 9 класса вспомним определение ограниченности: функция у = f (x) называется ограниченной снизу, если все значения функции не меньше какого-то числа m , это значит, что существует число   m  такое, что для любого значения х из области определения функции выполняется неравенство   f (x) ≥  m   ( эф от икс больше либо равно эм).  Функция у = f (x) называется ограниченной сверху, если все значения функции не больше какого-то числа М , это значит, что существует число   М  такое, что для любого значения х из области определения функции выполняется неравенство   f (x) ≤  М  ( эф от икс меньше либо равно эм).Функция называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху. 

Вернемся к нашей функции: ограниченность следует из того, что для любого тэ верно неравенство  – 1 ≤ sint≤ 1.( синус тэ больше либо равно минус единице, но меньше либо равно единице).

СВОЙСТВО 5. Наименьшее значение функции равно минус одному и функция достигает этого значения в любой точке вида  t = ( тэ равно минус пи на два плюс два пи ка, а  наибольшее  значение функции равно одному и достигается функцией в любой точке вида   t = ( тэ равно пи на два плюс два пи ка).

   Наибольшее и наименьшее значение функции   s = sin t  обозначают s_наим.  и   s_наиб..

Используя полученные свойства, построим график функции у = sin х ( игрек равно синус икс), потому что нам привычнее запись   у = f (x) , а не s = f (t).

Для начала выберем масштаб : по оси ординат единичный отрезок возьмем две клетки, а по оси абсцисс две клетки – это пи на три ( т.к. ≈ 1). Сначала Построим график функции у = sin х на отрезке [0; π ]. Нам  нужна  таблица значений функции на этом отрезке, для её построения воспользуемся таблицей значений для соответствующих углов косинуса и синуса: 

Таким образом, чтобы построить таблицу значений аргумента и функции  необходимо помнить, что х (икс) это число соответственно равное углу на промежутке от нуля до пи [0; ], а у (игрек)значение синуса этого угла.

 Отметим эти точки на координатной плоскости. Согласно СВОЙСТВУ 3 на отрезке

 [ 0;  ] ( от нуля до пи на два) функция у = sin х возрастает, а убывает на отрезке [; ]( от пи на два до пи) и соединив плавной линией полученные точки, получим часть графика.(рис.1)

Используя симметрию графика нечетной функции относительно начала отсчета, получим график функции  у = sin х уже на отрезке

 [-π; π ] (от минус пи до пи).( рис. 2)

Вспомним, что sin( x + 2π)= sinx

 (синус от икс плюс два пи равен синусу икс). Это значит, что в точке  x + 2π функция  у = sin х принимает то же значение, что и в точке х. А так как  (x + 2π)ϵ  [π; 3π ]( икс плюс два пи принадлежит отрезку от пи до трех пи), если хϵ[-π; π ], то на отрезке[π; 3π ] график функции выглядит точно так же, как и на отрезке  [-π; π ]. Аналогично, на отрезках  [3π; 5π ] , [5π; 7π ], [-3π; -π ] и так далее график функции у = sin х выглядит так же, как на отрезке

 [-π; π ].(рис.3)

Линию, которая является графиком функции у = sin х, называют синусоидой. Часть синусоиды, изображенной на рисунке 2, называют волной синусоиды, а на рисунке 1 называют аркой синусоиды или  полуволной.

Используя  построенный график, запишем еще несколько свойств данной функции.

СВОЙСТВО 6. Функция у = sin х  является непрерывной функцией. Это значит, что график  функции сплошной, то есть не имеет скачков и проколов.

СВОЙСТВО 7. Областью значений функции у = sin х является отрезок [-1; 1] (от минус единицы до единицы) или это можно записать так: ( е от эф равно отрезку от минус единицы до единицы).

Рассмотрим ПРИМЕР. Решить графически уравнение sin х = х + π( синус икс равно икс плюс пи).

Решение. Построим графики функций  у = sin х  и   у = х + π.

Графиком функции у = sin х   является синусоида.

у = х + π  - это линейная функция, графиком которой является прямая, проходящая через точки с координатами (0; π) и (– π ; 0) .

Построенные графики имеют одну точку пересечения – точку В( - π;0) ( бэ с координатами минус пи, ноль). Это значит, что  у данного  уравнения только один корень – абсцисса точки В –  –π. Ответ: х = – π.