Урок "Геометрический смысл модуля действительного числа"

Видеоурок «Геометрический смысл модуля действительного числа» - наглядное пособие для урока математики по соответствующей теме. В видеоуроке детально и наглядно рассматривается геометрический смысл модуля, после чего на примерах раскрывается, как находится модуль действительного числа, причем решение сопровождается рисунком. Материал может быть использован на этапе объяснения новой темы в качестве отдельной части урока или обеспечения наглядностью объяснения учителя. Оба варианта способствуют повышению эффективности урока математики, помогают учителю достичь целей урока.

В данном видеоуроке присутствуют построения, которые наглядно демонстрируют геометрический смысл модуля. Чтобы демонстрация была более наглядной, эти построения выполняются с применением анимационных эффектов. Чтобы учебный материал легче запоминался, важные тезисы выделены цветом. Подробно рассматривается решение примеров, которое за счет анимационных эффектов подается структурировано, последовательно, понятно. При составлении видео были использованы инструменты, которые помогают сделать видеоурок эффективным современным инструментом обучения.

Виде начинается с представления темы урока. На экране выполняется построение – изображен луч, на котором отмечены точки aи b, расстояние между которыми отмечено как ρ(a;b). Напоминается, что расстояние измеряется на координатном луче вычитанием из большего числа меньшего, то есть для данного построения расстояние равно b-aдля b>aи равно a-b при a>b. Ниже демонстрируется построение, на котором отмеченная точка а лежит правее b, то есть соответствующее ей числовое значение больше b. Ниже отмечен еще один случай, когда положение точек aи b совпадает. В этом случае расстояние между точками равно нулю ρ(a;b)=0. Все вместе эти случаи описываются одной формулой ρ(a;b)=|a-b|.

Далее рассматривается решение задач, в которых применяются знания о геометрическом смысле модуля. В первом примере необходимо решить уравнение |х-2|=3. Отмечается, что это аналитическая форма записи данного уравнения, которую для поиска решения переводим на геометрический язык. Геометрически данная задача означает, что необходимо найти точки х, для которых будет верно равенство ρ(х;2)=3. На координатной прямой это будет означать равноудаленность точек х от точки х=2 на расстоянии 3. Чтобы продемонстрировать решение на координатной прямой, изображается луч, на котором отмечена точка 2. На расстоянии 3 от точки х=2 отмечаются точки -1 и 5. Очевидно, что данные отмеченные точки и будут решением уравнения.

Для решения уравнения |x+3,2|=2 предлагается привести его сначала к виду |a-b|, чтобы решить задание на координатной прямой. После преобразования уравнение получает вид |х-(-3,2)|=2. Это означает, что расстояние между точкой -3,2 и искомыми точками будет равно 2, то есть ρ(х;-3,2)=2. На координатной прямой отмечается точка -3,2. От нее на расстоянии 2 располагаются точки -1,2 и -5,2. Эти точки отмечаются на координатной прямой и указаны как решение уравнения.

Решение еще одного уравнения |x|=2,7 рассматривает случай, когда искомые точки располагаются на расстоянии 2,7 от точки 0. Уравнение переписывается в виде |x-0|=2,7. При этом указано, что расстояние до искомых точек определяется как ρ(х;0)=2,7. На координатной прямой отмечается начало отсчета точка 0. На расстоянии 2,7 от точки 0 размещаются точки -2,7 и 2,7. Эти точки отмечаются на построенной прямой, они и являются решениями уравнения.

Для решения следующего уравнения |x-√2|=0 не требуется геометрическая интерпретация, так как если модуль выражения равен нулю, это означает, что это выражение равно нулю, то есть x-√2=0. Из уравнения следует, что х=√2.

В следующем примере рассматривается решение уравнений, которые перед решением требуют преобразования. В первом уравнении |2x-6|=8 перед х есть числовой коэффициент 2. Чтобы избавиться от коэффициента и перевести уравнение на геометрический язык ρ(х;а)=b, выносим общий множитель за скобки, получая |2(x-3)|=2|x-3|. После этого правая и левая части уравнения сокращаются на 2. Получаем уравнение вида |x-3|=4. Данное уравнение аналитического вида переводится на геометрический язык ρ(х;3)=4. На координатной прямой отмечаем точку 3. От этой точки откладываем точки, расположенные на расстоянии 4. Решением уравнения будут точки -1 и 7, которые отмечаются на координатной прямой. Второе рассмотренное уравнение |5-3x|=6 также содержит числовой коэффициент перед переменной х. Чтобы решить уравнение, коэффициент 3 выносится за скобки. Уравнение принимает вид |-3(x-5/3)|=3|x-5/3|. Правая и левая части уравнения могут быть сокращены на 3. После этого получается уравнение вида |x-5/3|=2. Переходим от аналитической формы к геометрической интерпретации ρ(х;5/3)=2. К решению строится рисунок, на котором изображается координатная прямая. На этой прямой отмечается точка 5/3. На расстоянии 2 от точки 5/3 располагаются точки -1/3 и 11/3. Эти точки и являются решениями уравнения.

Последнее рассмотренное уравнение |4x+1|=-2. Для решения данного уравнения не требуется преобразований и геометрического представления. В левой части уравнения очевидно получается неотрицательное число, а правая часть содержит число -2. Поэтому данное уравнение не имеет решений.

Видеоурок «Геометрический смысл модуля действительного числа» может применяться на традиционном уроке математики в школе. Материал может стать полезным учителю, осуществляющему дистанционное образование. Подробное понятное объяснение решения заданий, в которых используется функция модуля, поможет освоить материал ученику, который осваивает тему самостоятельно.