Урок "Как построить график функции у = f(kx), если известен график функции y = f(x)"

Материал, представленный в видеоуроке, является продолжением темы построения графиков функций путем различных преобразований. Мы рассмотрим, как строится график функции y=f(kx), если известен график функции у=f(x). В данном случае k – любое действительное число, не равное нулю.

Вначале рассмотрим случай, когда k – положительное число. Для примера построим график функции у=f(3x), если график функции у=f(х) у нас есть. На рисунке на оси координат изображен график у=f(х), на котором есть точки с координатами А и В. Выбирая произвольные значения х и подставляя их в функцию у=f(3x), находят соответствующие значения функции у. Таким образом, получают точки графика функции у=f(3x)А₁ и В₁, у которых ординаты такие же, как у точек А и В. То есть мы можем сказать, что из графика функции у=f(x) путемсжатия с коэффициентом k  к оси ординат можно получить график функции y=f(kx). Важно отметить, что точки пересечения с осью ординатпри сжатии остаются на прежнем месте.

В случае, когда k– отрицательное число, график функции y=f(kx) преобразовывается из графика функции у=f(x) путем растяжения от оси ординат с коэффициентом 1/k.

Автор приводит 1-й пример – построение графика функции у = sin 2x.

1) вначале строится часть волны графика функции у = sinх (см. рисунок);

2) т.к. k= 2, выполняется сжатие графика функции у= sinxк оси ординат, коэффициент сжатия равен 2. Находим точку пересечения с осью x. Т.к. график функции у = sinх пересекает ось абсцисс в точке π, то график функции у = sin 2х пересекает ось абсцисс в точке π/k = π/2.Аналогичным способом находятся все остальные точки графика функции у = sin 2xи по этим точкам строится весь график.

Рассмотрим 2-й пример – построение графика функции у =cos (x/2).

1) строим часть волны графика функции у = cosх (см. рисунок);

2) т.к. k =1/2, выполняем растяжение графика функции у = sinх от оси ординат с коэффициентом ½.

Найдем точку пересечения графика с осью х. Т.к. график функции у = cosх пересекает ось абсцисс в точке π/2, то график функции  у =cos (x/2) пересекает ось абсцисс в точке π. Таким же образом находим все остальные точки графика функции у =cos (x/2), построим по этим точкам весь график.

Далее рассмотрим вариант построения графика функции y=f(kx), где k - число отрицательное. Например, при k = –1 функция y=f(kx) = f(–x). На рисунке изображен график у=f(х), на котором есть точки с координатами А и В. Выбрав произвольные значения х и подставив их в функцию y=f(–x), находим соответствующие значения функции у. Получим точки графика функции y=f(–x)А₁ и В₁, которые будут симметричны точкам А и В относительно оси ординат. То есть при использовании симметрии относительно оси ординат из графика функции у=f(kx) получаем график функции y=f(–x).

Переходим к построению графика функции y=f(kx) при k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) построим часть волны графика у = sinх;

2) т.к. k= 4, выполним растяжение полуволны графика относительно оси абсцисс, где коэффициент растяжения равен 4;

3) выполним симметричное преобразование относительно оси абсцисс;

4) произведем растяжение от оси ординат (коэффициент растяжения равен 2);

5) завершим построение всего графика.

В данном видеоуроке мы подробно рассмотрели, каким образом поэтапно можно построить график функции y=f(kx) при разных значениях k.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Сегодня познакомимся  с преобразованием, которое поможет научиться строить график функции у = f (kx)

 ( игрек равен эф от аргумента, который представляет произведение ка и икс), если известен график функции  у = f (x) ( игрек равно эф от икс), где ка – любое действительное число (кроме нуля)».

1)   Рассмотрим случай, когда  k - положительное число на  конкретном примере, когда k = 3.То есть нужно построить график функции

 у = f (3x) ( игрек равен эф от трех икс), если известен график функции у = f (x). Пусть на графике функции  у = f (x) есть точка А с координатами (6; 5) и В с координатами (-3; 2). Это значит, что f (6) = 5 и f (- 3) = 2 (эф от шести равно пяти и эф от минус трех равно двум).  Проследим за перемещением этих точек  при построении  графика функции у = f (3x).

Возьмем произвольное значение   х = 2, вычислим у, подставив значение х в график функции у = f (3x) , получим, что у = 5.  (на экране:  у = f (3x) =  f (3∙2)= f (6) = 5.)  То есть на графике функции  у= f (3x)  есть точка  с  А₁ координатами (2; 5).  Если же   х = - 1, то подставив значение х в график функции у = f (3x), получим значение у= 2.

 (На экране: у = f (3x) =  f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

 То есть на графике функции  у= f (3x)  есть точка с координатами  В₁ (- 1; 2). Итак, на графике функции у = f (3x) есть точки с той же ординатой, что и на графике функции у = f (x), при этом  абсцисса точки  в два раза меньше  по модулю.

То же будет справедливо и для других точек графика функции  у = f (x), когда мы будем переходить к графику функции у = f (3x).

 Обычно такое преобразование называют сжатием к оси у( игрек) с коэффициентом 3.

Следовательно, график функции у = f (kx)  получается из графика функции у = f (x) с помощью сжатия к оси у(игрек) с коэффициентом k. Заметим, что при таком преобразовании на месте остается точка пересечения графика функции у = f (x) с осью ординат.

Если же k меньше единицы, то говорят не о сжатии с коэффициентом k, а о растяжении от оси у с коэффициентом  ( то есть, если k = , то говорят о растяжении с коэффициентом 4).

ПРИМЕР 1. Построить график функции у = sin 2x ( игрек равен синусу двух икс).

Решение. Вначале построим полуволну графика  у = sin x  на промежутке от ноля до пи. Так как коэффициент равен двум, а значит k - положительное число больше единицы, значит осуществим сжатие графика функции  у = sin x  к оси ординат с коэффициентом 2. Найдем точку пересечения с  осью ОХ. Если график функции у = sin x  пересекает ось ОХ в точке π, то график функции у = sin 2x  будет пересекать в точке   (π: k =π: 2 =  )(пи делим на ка равно пи деленное на два равно пи на два). Аналогичным способом найдем все остальные точки графика функции  у = sin2 x. Так,    точке графика функции у = sin x с координатами  (;1)  будет соответствовать точка графика функции у = sin 2x  с координатами (;1).  Таким образом получим одну полуволну графика функции у = sin 2x. Используя периодичность функции построим весь график.

ПРИМЕР 2. Построить график функции у = cos ( игрек равен косинусу частного икс и двух ).

Решение. Вначале построим полуволну графика  у = cos x. Так как k - положительное число меньше е единицы, значит осуществим растяжение графика функции  у = cos x от оси ординат с коэффициентом 2.

Найдем точку пересечения с  осью ОХ. Если график функции у = cos x пересекает ось ОХ в точке  , то график функции у = cos будет пересекать в точке π. ( : k =π:  = π  ).   Аналогичным способом найдем все остальные точки графика функции  у = cos. Таким образом получим одну полуволну искомого графика функции. Используя периодичность функции построим весь график.

Рассмотрим случай, когда  k  равно минус единице. То есть нужно построить график функции у = f (-x) (игрек равен эф от минус икс), если известен график функции у = f (x). Пусть на графике есть точка А с координатами (4; 5) и точка В  (-5; 1). Это значит, что f (4) = 5 и f (- 5) = 1.

Так как при подстановке в формулу у = f (-x) вместо  х = - 4  получим у = f (4) = 5, то на графике функции у = f (-x) есть точка с координатами А₁

( - 4 ; 5) (минус четыре, пять). Аналогично, графику функции у = f (-x) принадлежит точка В₁ ( 5; 1).То есть графику функции у = f (x) принадлежат точки  А(4; 5) и В(-5; 1), а графику функции у = f (-x) принадлежат точки А₁ (- 4; 5) и В₁ (5; 1). Эти пары точек симметричны относительно оси ординат.

Следовательно, график функции у = f (-x) с помощью преобразования симметрии относительно оси ординат  можно получить из   график функции у = f (x).

3) И, наконец, рассмотрим случай, когда k - отрицательное число. Учитывая, что равенство f (kx) = f (- |k|x) ( эф от произведения ка на икс равно эф от произведения минус модуля ка и икса) справедливое, то речь идет о построении графика функции у = f (- |k|x), который можно построить поэтапно:

1) построить график функции у = f (x);

 2) построенный график подвергнуть сжатию или растяжению к оси ординат с коэффициентом |k| (модуль ка);

 3) осуществить преобразование симметрии относительно оси у

( игрек)  полученного во втором пункте графика.

ПРИМЕР 3. Построить график функции у = 4 sin (- ) (игрек равно четыре, умноженное на синус частного минус икс на два).

Решение.  Прежде всего  вспомним, что sin(- t) = -sint( синус от минус тэ равно минус синусу тэ), значит, у = 4 sin (- ) = - 4 sin  (игрек равен  минус четырем, умноженным на синус  частного икс на два). Строить будем поэтапно:

1)    Построим одну полуволну графика функции у= sinх.

2)    Осуществим растяжение построенного графика от оси абсцисс с коэффициентом 4 и получим одну полуволну графика функции 

у= 4sinх( игрек равно четыре, умноженное на синус икс).

3)    К  построенной  полуволне графика функции у= 4sinх применим преобразование симметрии относительно оси х( икс) и получим полуволну графика функции  у=  - 4sinх.

4)    Для полуволны графика функции  у=  - 4sinх осуществим растяжение от оси ординат с коэффициентом 2; получим полуволну графика функции - 4 sin  .

5)    С помощью полученной полуволны построим весь график.