Уроки математики / Видеоурок / Урок "Квадрат суммы нескольких слагаемых"

Урок "Квадрат суммы нескольких слагаемых"

Краткое описание документа:

Стандартные формулы сокращенного умножения рассчитаны на работу с биномами и относительно простыми (по базовой конструкции) многочленами. Однако иногда при решении более серьезных задач приходится иметь дело с более сложными операциями.

Урок "Квадрат суммы нескольких слагаемых"

В данном видеоуроке мы изучим процесс возведения в квадрат целого трехчлена. Для этого, сразу же выведем готовую формулу, используя абстрактный пример и принимая во внимание правила перекрестного почленного перемножения любых многочленов:

(а + b + с)2 = (а + b + с)(а + b + с) =

= а2 + аb + ас + аb + b2 + bс + ас + bс + с2 =

= а2 + b2 + с2 + 2аb + 2ас + 2bс

Таким образом, при помощи данного видео мы эмпирическим путем вывели готовую формулу, которую можно выразить на словах следующим законом: квадрат суммы трех натуральных выражений равен сумме квадратов этих выражений, сложенной с суммой всех удвоенных произведений выражений, взятых в паре.

Для практики изучим новую формулу на упражнении. Вычислить значение квадрата:

(2а + х + 3с)2

Используя вышеуказанное равенство, получаем новое выражение и раскрываем скобки:

(2а + х + 3с)2 = (2а)2 + х2 + (3с)2 + 2(2ах) + 2(2а3с) + 2(х3с) =

= 4а2 + х2 + 9с2 + 4ах + 12ас + 6сх

Как видим, применение формулы для возведения в квадрат суммы трех выражений достаточно простой процесс, требующий лишь внимания, особенно при перемножении коэффициентов.

Урок "Квадрат суммы нескольких слагаемых"

Так как сумма в скобках формулы имеет алгебраический смысл, то данное равенство успешно можно применять и для разности выражений – фактически, для любого трехчлена. Для нового упражнения инверсируем знаки в нашем первом примере:

(2а – х – 3с)2

Чтобы решить это выражение при помощи формулы для квадрата суммы, воспользуемся отделением знаков коэффициентов в скобки, то есть запишем трехчлен в виде алгебраического суммирования:

(2а – х – 3с)2 = (2а +(– х) + (– 3с))2

Как мы помним из предыдущих видеоупражнений, вынесение плюса за скобки ни на что не влияет, так как плюс сохраняет первичные знаки выражений. Пользуясь формулой, произведем вычисления:

(2а +(– х) + (– 3с))2 = (2а +(– х) + (– 3с))(2а +(– х) + (– 3с)) =

= (2а)2 + (-х)2 + (-3с)2 + 2(-2ах) + 2(-2а3с) + 2(3сх) =

= 4а2 + х + 9с2 – 4ах – 12ас + 6сх

Если внимательно присмотреться к ответу, можно сделать следующий вывод: разность в начальном выражении привела к тому, что два из трех удвоенных произведений пар выражений приобрели знак «минус». Все остальные данные остались прежними. Стоит заметить, что квадрат всего аннулирует минус, поэтому первая часть суммы в ответе не будет зависеть от знаков в начальном выражении и всегда остается положительной.
Усложним задачу и попытаемся вычислить квадрат суммы четырех выражений. При этом воспользуемся стандартными ФСУ для облегчения расчетов:

(а + х + у + с)2 = ((а + х + у) + с)2 =

= (а + х + у)2 + 2(а + х + у)с + с2

= а2 + х2 + у2 + 2ах + 2ау + 2ху + 2ас + 2хс + 2ус + с2 =

= а2 + х2 + у2 + с2 + 2ах + 2ау + 2ас + 2ху + 2хс + 2ус

Конечное выражение является формулой для определения квадрата суммы четырех выражений. Или в словесном виде: квадрат суммы четырех натуральных выражений равен сумме квадратов этих выражений, сложенной с удвоенными произведениями всех выражений, взятых по паре.

Урок "Квадрат суммы нескольких слагаемых"

Таким образом, возведение в квадрат любого многочлена является довольно стандартизованным и приводит к подобным результатам, поэтому можно вывести общую формулировку, работающую для любого конечного числа выражений:
квадрат суммы нескольких выражений равен сумме квадратов данных выражений, сложенных с удвоенными произведениями всех выражений, взятых по паре.
Рассмотрим следующую задачу. Возведем в квадрат выражение:

(3 + х – 5у + 3с)2

Урок "Квадрат суммы нескольких слагаемых"

Используя выведенные формулы или общую формулировку (работающую для любой алгебраической суммы), преобразуем и решим, раскрывая скобки и упрощая:

(3 + х – 5у + 3с)2 = (3 + х + (– 5у) + 3с)2 =

= (3 + х + (– 5у) + 3с)(3 + х + (– 5у) + 3с) =

= (3)2 + х2 + (-5у)2 + (3с)2 + 2(3х) + 2(-15у) + 2(9с) + 2(-5ух) + 2(3сх) – 30ус

= 9 + х2 + 25у2 + 9с2 + 6х – 30у + 18с – 10ух + 6сх – 30ус

Понимание общих принципов выведения тех или иных формул очень помогает при решении нетривиальных упражнений, имеющих схожую задачу, но более высокого уровня.

Автор
Дата добавления 02.08.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Видеоурок
Просмотров1639
Номер материала 456
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.