Урок "Разложение на множители разности квадратов"

Как известно, любые формулы математики при желании могут быть инверсированы, то есть, обращены. В любом реальном равенстве, элементы которого имеют алгебраический смысл, можно обменять правую и левую части местами, не нарушив смысла всей формулы. Это аксиоматическое заключение делает многие практические равенства универсальными.

В предыдущих видео мы рассмотрели применение некоторых формул сокращенного умножения. Они часто используются в упражнениях со сложными многочленами или подобными равенствами.

Например, одна из формул СУ гласит: произведение суммы и разности двух натуральных чисел равно разности квадратов этих чисел:

(а + с)(а – с) = а² – с²

Это выражение алгебраически состоит из произведения многочленов в левой части, и из разности одночленов в правой. Обратим равенство:

а² – с² = (а + с)(а – с)

На словах новую формулу можно передать так: разность квадратов двух натуральных чисел равна произведению их суммы и разности. Данное тождество носит название «формула разности квадратов», и часто используется в линейной алгебре для преобразования разности натуральных квадратов в произведение. Рассмотрим следующий пример. Преобразуем выражение:

х² – 25

х² – 25 = (х + 5)(х – 5)

На первый взгляд, преобразованное выражение лишь удлинилось. Однако не стоит забывать, что порой приходится жертвовать уровнем сложности выражения для того, чтобы суметь правильно его сократить либо же с другой целью, диктуемой смежными темами математики. Например, необходимо найти значение выражения:

(2х² – 18 – (х + 3)(х – 3)) / (х + 3)

Для того чтобы решить данное упражнение, произведем локальную группировку и вынесем за скобки двойку, обособив первые два элемента выражения:

(2х² – 18 – (х + 3)(х – 3)) / (х + 3) = (2(х² – 9) – (х + 3)(х – 3)) / (х + 3)

После этого необходимо применить обратную формулу СУ, чтобы преобразовать выражение таким образом:

(2(х² – 9) – (х + 3)(х – 3)) / (х + 3) = (2(х + 3)(х – 3) – (х + 3)(х – 3)) / (х + 3)

В новом выражении существуют две полностью идентичные группы, имеющие единую основу, но разный коэффициент-множитель. Можно записать, что:

2(х + 3)(х – 3) – (х + 3)(х – 3) = (х + 3)(х – 3)

Тогда наше выражение преобразуется и легко упростится благодаря правилам сокращения дробей:

(2(х + 3)(х – 3) – (х + 3)(х – 3)) / (х + 3) = (х + 3)(х – 3) / (х + 3) = х – 3

Как можно заметить из нашего видеоурока, первичное усложнение иногда бывает очень полезным – оно помогает представить все выражение с иного ракурса, что способствует применению альтернативных вариантов развязок, а также иных формул и правил. Усложненное выражение всегда более универсально – к нему можно применить большее количество математических приемов.

Рассмотрим ещё один пример удачного применения обратной формулы СУ. Упростим выражение вида 81а³ – 25а²:

81а⁴ – 25а² = (9а² + 5а)(9а² – 5а)

Это выражение относительно легко решается, главное помнить о правилах переумножения одночленов с разными степенями и с одной переменной в качестве основы.