Урок «Метод математической индукции»

Видеоурок «Метод математической индукции» помогает освоить метод математической индукции. Видео содержит материал, помогающий понять суть метода, запомнить особенности его применения, научится применять данный метод при решении задач. Цель данного видеопособия – облегчить освоение материала, формировать умения решать математические задачи методом индукции.

Для удержания внимания учащихся на изучении материала используются анимационные эффекты, иллюстрации, представление информации в цвете. Видеоурок освобождает время учителя на уроке для улучшения качества индивидуальной работы, решения других учебных задач.

Понятие метода математической индукции вводится на примере рассмотрения последовательности a_n , в которой a₁=4, а a_n+1= a_n+2n+3. В соответствии с общим представлением члена последовательности, определяется, что a₁=4, a₂=4+2·1+3=9, a₃=9+2·2+3=16, то есть последовательность чисел 4, 9, 16,… Предполагается, что для данной последовательности верно a_n=(n+1)². Для указанных членов последовательности – первого, второго, третьего – формула верна. Необходимо доказать справедливость данной формулы для любого сколь угодно большого n. Указывается, что в подобных случаях применяется метод математической индукции, помогающий доказать утверждение.

Раскрывается суть метода. Предполагается справедливость формулы для n=k, значение a_k=( k+1)². Необходимо доказать, что равенство будет справедливым также при k+1, что значит a_k+1=( k+2)². Для этого в формуле a_k+1=a_k+2k+3 заменяем a_k на (k+1)². После подстановки и приведения подобных получаем равенство a_k+1=( k+2)². Это дает право утверждать, что справедливость формулы для n делает ее верной и для  n=k+1. Рассмотренное доказательство применительно к последовательности a_n, которая представлена числами 4, 9, 16,… и общим членом a_n=(n+1)² дает право утверждать, если формула превращается в верное равенство для n=1, то также для n=1+1=2, и для 3 и т.д., то есть при всяком натуральном n.

Далее суть метода индукции излагается математическим языком. Принцип метода основан на справедливости утверждения, что факт имеет место для произвольного натурального n при выполнении двух условий: 1) утверждение является верным для n=1 2) из справедливости данной формулы для n=k следует справедливость ее для n=k+1. Из данного принципа следует и строение доказательства, с использованием метода математической индукции. Отмечается, что данный метод предполагает для n=1 доказательство справедливости утверждения, а при предположении справедливости доказательства для n=k доказывается, что верно также для n=k+1.

Разбирается пример доказательства формулы Архимеда методом математической индукции. Дана формула 1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6. На экране проводятся вычисления, выводящие справедливость формулы для n=1. Вторым пунктом доказательства является предположение, что для n=k формула справедлива, то есть она принимает вид 1²+2²+3²+…+k²=k(k+1)(2k+1)/6.Основываясь на этом, доказывается, что формула верна и для n=k+1. После подстановки n=k+1 получаем значение формулы 1²+2²+3²+…+k²+(k+1)²=(k+1)(k+2)(2k+3)/6. Таким образом, формула Архимеда доказана.

Еще в одном примере рассматривается доказательство кратности 7 суммы 15ⁿ+6 для всякого натурального n. В доказательстве пользуемся методом математической индукции. Сначала справедливость утверждения проверяем для n=1. Действительно, 15¹+6=21. Затем допускаем справедливость для n=k. Это означает, что 15^k+6 является кратным 7. Подстановкой n=k+1 в формулу доказываем кратность 7 значения 15^k+1+6. После преобразования выражения  получаем: 15^k+1+6=15^k+1·14+(15^k+6). Поэтому сумма15ⁿ+6 является кратной 7.

Видеоурок «Метод математической индукции» доходчиво и детально раскрывает суть и механизм применения метода математической индукции в доказательстве. Поэтому данный видеоматериал может послужить не только наглядным пособием на уроке алгебры, но будет полезен при самостоятельном изучении материала учеником, поможет объяснить тему учителю в ходе дистанционного обучения.