Урок «Обобщение понятия о показателе степени»

Вы уже знакомы со способами  вычисления значения степени с целым показателем, применяя следующие свойства:

1. если n=1, то а1=а

2. если n =0, при этом а≠0, то а0=1

3. если n  N, n≥2, то аn=а*а*а*а…( n множителей).

(Если а принадлежит множеству натуральных чисел и а больше или равно двум, то можно записать: а в степени эн равно а*а*а*а…( n множителей).

4. если n=1, 2, 3, …и а≠0, то а- n=  

(Если эн равно 1, 2, 3, и так далее и а не равно нулю, то а в степени минус эн можно представить как один деленное на а в степени эн).

Свойства степени с целым показателем:

1. если n=1, то а1=а

2.если n =0, при этом а≠0, то а0=1

3.если n  N, n≥2, то аn=а*а*а*а…( n множителей).

4.если n=1, 2, 3, …и а≠0, то а- n=  

Например:

1. 51=5 (пять в первой степени равно пяти)

2. С0 =1, кроме 00 – не определено

(любая переменная или постоянная в нулевой степени всегда даёт единицу, кроме нуль в нулевой не определено),

3. 138=13*13*13…*13 (8 множителей)

4. 4*16-1=4* = =0,25 (4 умножить на 16 в минус первой степени равно 4 умножить на одну шестнадцатую, сокращаем 4 и 16 на 4, получим одну четвёртую или ноль целых 25 сотых).

1. 51=5

2. С0=1, кроме 00–не определено

3. 138=13*13*13…*13(8 множителей)

4. 4*16-1=4* = =0,25

Но в математике показателем степени  может быть не только целое число, но и положительное рациональное (дробное) число.

К примеру: 40,4 (4 в степени ноль целых четыре десятых)

или  (одна целая три десятых в степени три седьмых).      Пример добей с рациональным положительным показателем:

40,4 ;    

Итак, если    -   обыкновенная дробь, причём ку не равно единице и а больше или равно нулю, то под выражением а в степени пэ делённое на ку понимают корень степени ку из а в степени пэ.

Таким образом, 4 в степени ноль целых четыре десятых можно записать в виде: 4 в степени четыре десятых, сократим показатель степени на 2, получим 4 в степени две пятых, по определению степени с рациональным показателем, получим корень пятой степени из четырёх в квадрате или корень пятой степени из шестнадцати:

40,4= = = =

Аналогично можно записать и число одна целая три десятых в степени три седьмых:

Получим корень седьмой степени из числа одна целая три десятых в кубе.

Помимо определения степени с положительным рациональным показателем, существует так же определение степени с отрицательным рациональным показателем.

Итак, если    -   обыкновенная дробь, причём ку не равно единице и а строго больше ноля, то под выражением а в степени минус пэ делённое на ку понимают один делённое на а в степени пэ делённое на ку или один делённое на корень степени ку из а в степени пэ.

Например, три в степени минус две третьих по определению запишется как — один делённое на три в степени две третьих или один делённое на корень кубический  из трёх в квадрате, три в квадрате – это 9 таким образом, мы получили, что три в степени минус две третьих — это один делённое на корень кубический из девяти.

В случае степени с любым рациональным показателем выполнимы  все свойства степени с целым показателем (будем считать, что а>0, b>0, m и n-любые рациональные числа):

1) am*an=am+n

2) am:an=am-n

3) (am)n=amn

4) (ab)m=am*bm

5)  =

         Свойства степени с любым рациональным показателем

(а>0, b>0, m и n- любые рациональные числа):

1). am*an=am+n

2). am:an=am-n

3). (am)n=amn

4). (ab)m=am*bm

5).  =

Рассмотрим применение изученных свойств на конкретных примерах:

Пример 1.

Вычислить:

а) 64 в степени одна шестая;

б) 27 в степени две третьих;

в) 0 в степени пятьдесят одна четвёртая;

г) минус восемь в степени одна третья.

Решение:

а)  Воспользуемся определением степени с рациональным показателем:

64 в степени одна шестая равно корень шестой степени из шестидесяти четырёх, а это 2.

б) Аналогично можно записать, что 27 в степени две третьих — это кубический корень из двадцати семи в квадрате, 27 можно представить в виде три в кубе, получим — корень кубический из трёх в кубе и в квадрате, по свойству три меняем местами множители в степени получаем корень кубический из трех в квадрате и кубе. Таким образом, извлекая кубический корень из трёх в квадрате и в кубе и возводя три в квадрат, получим 9.

в) Очевидно, что число 0 в любой степени всегда даёт ноль, итак, 0 в степени пятьдесят одна четвёртая — это ноль.

г) Определения степени с дробным показателем для случая отрицательного основания не существует, таким образом, запись минус восемь в степени одна третья не имеет смысла.         Пример 1.

Пример 2.

Упростить выражение:

Решение:

1)      Упростим выражение икс в степени одна третья плюс игрек в степени одна третья всё это в квадрате, применяя формулу квадрата суммы    , получим икс в степени одна третья и в квадрате плюс удвоенное произведение икса в степени одна третья и игрека в степени одна третья плюс игрек в степени одна третья и в квадрате.  По свойству возведения степени в степень (am)n=amn раскроем скобки, возводя последовательно икс в степени одна третья в квадрат и игрек в степени одна третья в квадрат.

Получим,  икс в степени две третьих плюс удвоенное произведение икса в степени одна третья и игрека в степени одна третья плюс игрек в степени две третьих.   

2)      Упростим выражение два умноженное на корень кубический из икса и игрека. Последовательно применяя  определение степени с рациональным показателем  = , а так же свойство возведения произведения в степень (ab)m=am*bm  представим выражение в виде: два умноженное на икс в степени одна третья и игрек в степени одна третья.

3)      Преобразуем выражение один деленное на корень кубический из игрек в минус второй степени, применяя определение степени с целым отрицательным показателем  и степени с рациональным показателем = , а также свойство возведения степени в степень (am)n=amn получим игрек в степени две третьих.

4) Подставим полученные после упрощения выражения в искомое, получим

икс в степени две третьих плюс удвоенное произведение икса в степени одна третья и игрека в степени одна третья плюс игрек в степени две третьих, минус  два умноженное на икс в степени одна третья и игрек в степени одна третья и минус игрек в степени две третьих.

Приведём подобные слагаемые, в результате получим ответ: икс в степени две третьих.         Пример 2.