Урок «Общие методы решения уравнений»

Тема «Общие методы решения уравнений»

Сегодня на уроке мы обобщим знания по применению различных методов решения уравнений.

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и

впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы достигли цели»

Готфрид Лейбниц

А каков смысл словосочетаний «методы решений», «общие методы решения уравнений»?

Методы решения уравнений – это способы, приемы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

Общие методы решения уравнений – это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Рассмотрим наиболее общие методы решения уравнений любых видов:

1. Метод замены уравнения

 h(f(х))= h(g(х)) уравнением f(х)=g(х).

2. Метод разложения на множители.

3. Метод введения новой переменной.

4. Функционально-графический метод.

Рассмотрим первый метод — метод замены уравнения аш эф от икс равно аш жэ от икс уравнением эф от икс равно жэ от икс. Этот способ основан на монотонности функции аш от икс:

если функция аш от икс

монотонная, то она принимает каждое свое значение только один раз. Тогда от уравнения аш эф от икс равно аш жэ от икс можно перейти к простому эф от икс равно жэ от икс.

Запомни! Если функция аш от икс немонотонная, то такой метод применять нельзя, так как возможна

потеря корней.

Задание 1

Решить уравнение три икс минус семь и все в пятой степени равно два икс плюс три и все в пятой степени.

Решение

Так как функция аш от икс равно икс в пятой степени монотонная (возрастающая), то данное уравнение равносильно уравнению

три икс минус семь равно два икс плюс три.

Переносим слагаемые, приводим подобные слагаемые, получим икс равен десяти.

Выполнили равносильные преобразования, проверку делать не нужно.

Ответ: десять

Задание 2

Решить уравнение восемь минус два икс и все в квадрате равно икс в  квадрате плюс пять и все в квадрате.

Решение

Так как функция аш от икс равно икс в квадрате немонотонная, то применять этот метод нельзя.

Задание 3

Решить уравнение логарифм выражения икс плюс один при основании три плюс логарифм выражения икс плюс три при основании три равно единице.

Решение

Вычислим ОДЗ уравнения. Она задается системой неравенств: икс плюс один больше нуля и икс плюс три больше нуля. Отсюда икс больше минус единицы.

Воспользуемся свойством логарифма и

тем, что один равен логарифму трех по основанию три, получим  логарифмическое уравнение. Логарифм произведения икс плюс один и икс плюс три по основанию три равен логарифму трех по основанию три.

Так как функция аш от икс равная логарифму икс по основанию три монотонная (возрастающая), то данное уравнение равносильно уравнению произведение икс плюс один и икс плюс три равно трем.

Решая квадратное уравнение, получим корни: икс первое равно нулю, икс второе равно минус четырем.

Ноль принадлежит ОДЗ.

Минус четыре не принадлежит ОДЗ.

Ответ: ноль.

Сделаем вывод: рассмотренный метод применяется в случае монотонных функций аш от икс, например, при решении:

•          показательного уравнения,
•          логарифмического уравнения,
•          иррационального уравнения,

Рассмотрим второй метод — метод разложения на множители.

Он заключается в том, что уравнение эф от икс умноженное на жэ от икс  и умноженное на аш от икс равно нулю заменяют совокупностью уравнений эф от икс равно нулю, жэ от икс равно нулю, аш от икс равно нулю. Решив эти уравнения, вычислив корни, обязательно их нужно проверить.

Задание 4

Решить уравнение синус икс плюс синус два икс плюс синус три икс равно нулю.

Решение

Вычислим ОДЗ уравнения – это множество всех действительных чисел.

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого сгруппируем первое и третье слагаемые в левой части и преобразуем сумму синусов в произведение. Получаем — синус два икс, умноженное на два косинус икс плюс

один, равно нулю.

Тогда данное уравнение сводится к совокупности двух уравнений:

Первое — синус два икс равно нулю.

Второе — два косинус икс плюс один равно нулю.

Решение первого уравнения: икс равен пи эн деленное на два, где эн принадлежит зэт.

Решение второго уравнения: икс равен плюс минус арккосинус минус одна вторая плюс два пи ка, где ка принадлежит зэт.

Ответ: икс равен пи эн деленное на два, где эн принадлежит зэт; икс равен плюс минус арккосинус минус одна вторая плюс два пи ка, где ка принадлежит зэт.

Метод введения новой переменной —  самый распространенный метод и используется при решении уравнений самых разных типов. Суть его заключается в следующем: если уравнение эф от икс равно нулю имеет вид (или может быть приведено к виду) пэ от жэ от икс, то вводят новую переменную у равно жэ от икс, получают уравнение пэ от у равно нулю, решают его и находят корни (у первое, у второе и так далее у энное_). Возвращаются к старой переменной и получают совокупность уравнений жэ от икс равно у первое; жэ от икс равно у второе и так далее жэ от икс равно у энное.

Решая эту совокупность, находят корни данного уравнения.

Задание 5

Решить уравнение четыре в степени икс минус десять умноженное на два в степени икс минус один равно двадцати четырем.

Решение

Заменим четыре в степени икс на два в степени два икс, а десять умноженное на два в минус первой степени на пять, получим квадратное показательное уравнение относительно двух в степени икс.

Заменим два в степени икс на тэ, причем тэ больше нуля, получим и решим квадратное уравнение тэ в квадрате минус пять тэ минус двадцать четыре равно нулю.

Его корни тэ первое равно минус трем, тэ второе равно восьми. Корень тэ первое равное минус трем является посторонним, так как не удовлетворяет условию тэ больше нуля. Возвращаемся к замене два в степени икс равно тэ, получим уравнение два в степени икс равно восьми, откуда, икс равен трем.

Ответ: три.

Задание 6

Решить уравнение квадрат логарифма икс по основанию пять минус логарифм икс по основанию квадратный корень из  пяти и  минус три равно нулю.

Решение

Перейдем во втором слагаемом к основанию пять и сделаем замену переменной тэ равно логарифм икс по основанию пять, тогда получим квадратное  уравнение тэ квадрат минус два тэ минус три равно нулю.

Решая его, находим корни тэ первое равно трем, тэ второе равно минус единице.

Решим уравнения замены логарифм икс по основанию пять равно трем и логарифм икс по основанию пять равно минус единице.

Находим — икс равен ста двадцати пяти и икс равен нолю целым двум десятым.

Ответ: сто двадцать пять; ноль целых две десятых.

Функционально-графический метод решения уравнения эф от икс равно жэ от икс.

Суть этого метода такова: строят графики функций игрек равен эф от икс и игрек равен жэ от икс. Затем находят точки пересечения этих графиков, определяют их абсциссы. Они и являются корнями данного уравнения. Этот метод позволяет определить число корней, их приближенные, а иногда и точные значения.

Задание 7

Решить уравнение два косинус пи икс равно два икс минус один.

Решение

Построим в одной системе координат графики функций: игрек равен два косинус пи икс и игрек равен два икс минус один.

Точка пересечения графиков — точка с координатами ноль целых пять десятых и ноль.

Значит, уравнение имеет один корень — икс равен ноль целых пять десятых.

Ответ: икс равен ноль целых пять десятых.

Не всякое уравнение вида эф от икс равно жэ от икс в результатепреобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций эф от икс и жэ от икс,

как монотонность, ограниченность, четность, периодичность.

Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение эф от икс равно жэ от икс не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция эф от икс ограничена сверху, а функция жэ от икс – снизу так, что эф от икс максимум равно а большое,жэ от икс минимумравно а большое, то уравнение эф от икс равно жэ от икс равносильно системе уравнений эф от икс равно а большое и жэ от икс равно а большое и другие свойства.

Задание 8

Решить уравнение косинус дроби, числитель которой — икс квадрат минус восемь икс, а знаменатель — пять равно икс квадрат плюс один.

Решение

Данное уравнение рационально решать функциональным методом. Рассмотрим функцию эф от икс равно косинус дроби, числитель которой — икс квадрат минус восемь икс, а знаменатель — пять. В силу ограниченности функции косинуса, наибольшее значение функции эф от икс равно а большое и равно единице. Очевидно, функция жэ от икс, равная икс квадрат плюс один, наименьшее значение равно а большое и равно единице.

Поэтому данное уравнение равносильно системе двух уравнений.

Очевидно, что корень второго уравнения — икс равен нулю. Легко проверить, что икс равен нулю — удовлетворяет и первому уравнению. Следовательно, система уравнений (а также исходное уравнение) имеет единственный корень —  икс равен нулю.

Ответ: ноль.