Урок "Однородные тригонометрические уравнения"

С помощью этого видеоурока учащиеся смогут изучить тему однородных тригонометрических уравнений.

Дадим определения:

1) однородное тригонометрическое уравнение первой степени выглядит как a sin x + b cos x = 0;

2) однородное тригонометрическое уравнение второй степени выглядит как a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0.

Рассмотрим уравнение a sin x + b cos x = 0. Если а будет равно нулю, то уравнение будет выглядеть как b cos x = 0; если b равно нулю, то уравнение будет выглядеть как a sin x = 0. Это уравнения, которые мы называли простейшими и решали ранее в предыдущих темах.

Сейчас рассмотрим вариант, когда  a и b не равны нулю. С помощью деления частей уравнения на косинус x и осуществим преобразование. Получим a tg x + b = 0, тогда tg x будет равен – b/а.

Из вышеизложенного следует вывод, что уравнение a sin mx + b cos mx = 0 является однородным тригонометрическим уравнением I степени. Чтобы решить уравнение,  его части делят на cos mx.

Разберем пример 1. Решить 7 sin (x/2) – 5 cos (x/2) = 0. Сначала части уравнения делим на косинус(x/2). Зная, что синус, деленный на косинус, это тангенс, получим 7 tg (x/2) – 5 = 0. Преобразовывая выражение, найдем, что  значение тангенса (x/2)равно 5/7. Решение данного уравнения имеет вид х = arctg a + πn, в нашем случае х = 2 arctg (5/7) + 2πn.

Рассмотрим уравнение a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0:

1) при а равном нулю уравнение будет выглядеть как b sin x cos x + c cos² x = 0. Преобразуя, получим выражение cos x (b sin x + c cos x) = 0 и перейдем к решению двух уравнений. После деления частей уравнения на косинус x, получим b tg x + c = 0, а значит tg x = – c/b. Зная, что х = arctg a + πn, то решением в данном случае будет х = arctg (– с/b) + πn.

2) если а не равно нулю, то, путем деления частей уравнения на косинус в квадрате, получим уравнение, содержащее тангенс, которое будет квадратным. Это уравнение можно решить путем ввода новой переменной.

3) при с равном нулю уравнение примет вид a sin² x + b sin x cos x = 0. Это уравнение можно решить, если вынести синус x за скобку.

Далее автор акцентирует внимание на том, что при решении уравнения a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0 можно использовать следующие шаги:

1. посмотреть, есть ли в уравнении a sin² x;

2. если в уравнении член a sin² x содержится, то решить уравнение можно путем деления обеих частей на косинус в квадрате и последующим введением новой переменной.

3. если в уравнении a sin² x не содержится, то решить уравнение можно с помощью выноса за скобки cosx.

Рассмотрим пример 2. Вынесем за скобки косинус и получим два уравнения. Корень первого уравнения x = π/2 + πn. Для решения второго уравнения разделим части этого уравнения на  косинус x, путем преобразований получим х = π/3 + πn. Ответ: x = π/2 + πn и х = π/3 + πn.

Решим пример 3, уравнение вида 3 sin² 2x – 2 sin 2x cos 2x + 3 cos²  2x = 2 и найдем его корни, которые принадлежат отрезку от – π до π. Т.к. это уравнение неоднородное, необходимо привести его к однородному виду. Используя формулу sin² x + cos² x = 1, получим уравнение sin²2x – 2 sin 2x cos 2x + cos²  2x = 0. Разделив все части уравнения на cos² x, получим tg² 2x + 2tg 2x + 1 = 0. Используя ввод новой переменной z = tg 2x, решим уравнение, корнем которого будет z = 1. Тогда tg 2x = 1, откуда следует, что x = π/8 + (πn)/2. Т.к. по условию задачи нужно найти корни, которые принадлежат отрезку от – π до π, решение будет иметь вид – π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим – 2,25 < n < 1,75. Т.к. n  - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: – 2; – 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (– 7π)/8, x = (– 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

 

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Однородные тригонометрические уравнения

Сегодня мы разберем, как решаются «Однородные тригонометрические уравнения». Это уравнения специального вида.

Познакомимся с определением.

Уравнение вида  а sin x+bcosx = 0(а синус икс плюс бэ косинус икс равно нулю)  называют однородным тригонометрическим  уравнением первой степени;

уравнение вида а sin² x+b sin x cosx +с cos²x= 0 (а синус квадрат икс плюс бэ синус икс косинус икс плюс сэ косинус квадрат икс равно нулю)  называют однородным тригонометрическим  уравнением второй степени.

Если а=0, то уравнение примет вид  bcosx = 0.

Еслиb = 0, то получим  а sin x= 0.

Данные уравнения являются элементарными тригонометрическими, и их решение мы рассматривали на прошлых наших темах

Рассмотрим тот случай, когда оба коэффициента не равны нулю. Разделим обе части уравнения  а sinx+bcosx = 0  почленно  на  cosx.

Это мы можем сделать, так как косинус икс отличен от нуля.  Ведь, если cosx = 0, то уравнение а sinx+bcosx = 0  примет вид  а sinx = 0,  а ≠ 0, следовательно sinx = 0. Что невозможно, ведь по основному тригонометрическому тождеству sin² x+ cos²x=1.

Разделив обе части уравнения  а sinx+bcosx = 0  почленно  на  cosx, получим:  +  =0

Осуществим преобразования:

1. Так как  = tg x, то = а tg x

2  сокращаем на cosx, тогда

Таким образом получим следующее выражение   а tg x + b =0.

Осуществим преобразование:

1.перенесем b в правую часть выражения с противоположным знаком

а tg x =- b

2. Избавимся от множителя а разделив обе части уравнения на а

 tg x= - .

Вывод: Уравнение вида  а sin mx+bcosmx = 0 (а синус эм икс плюс бэ косинус эм икс равно нулю) тоже называют однородным тригонометрическим  уравнением первой степени. Чтобы решить его, делят обе части на cosmx.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение  7 sin  - 5 cos = 0 (семь синус икс на два минус пять косинус икс на два равно нулю)

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos, получим

1.   = 7 tg  (так как соотношение синуса к косинусу – это тангенс, то семь синус икс на два деленное на косинус икс на два, равно 7 тангенс икс на два)

2.  -5    = -5 (при сокращении cos )

3. =0

Таки образом получили уравнение

7tg - 5 = 0, Преобразуем выражение, перенесем минус пять в правую часть, изменив знак.

7  tg 5

 tg =  ,

Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t=, a =.  А так как данное уравнение имеет решение для любого  значения а и эти решения имеют вид

х = arctg a + πn, то решение нашего уравнения будет иметь вид:

= arctg  + πn, найдем х

  х=2 arctg  + 2πn. 

Ответ: х=2 arctg + 2πn.

 

Перейдем к однородному тригонометрическому уравнению второй степени

 а sin² x+b sin x cos x +сcos² x= 0.

Рассмотрим несколько случаев.

       I.            Если а=0,  то уравнение примет вид  bsinxcosx +с cos²x= 0.

При решении это уравнения используем метод разложения на множители. Вынесем cosx за скобку и получим: cosx(bsinx +с cosx)= 0. Откуда cosx= 0  или

b sin x +сcos x= 0.А эти уравнения  мы уже умеем решать.

Разделим обе части уравнения почленно на cosх, получим

1  (так как соотношение синуса к косинусу – это тангенс).

2.  

Таким образом получаем уравнение: btg х+с=0

Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t= х,  a =.  А так как данное уравнение имеет решение для любого  значения а и эти решения имеют вид

х = arctg a + πn,  то решение нашего уравнения будет:

х = arctg   + πn,  .

    II.            Если а≠0,  то обе части уравнения почленно разделим на cos²x.

(Рассуждая аналогично, как и в случае с однородным тригонометрическим  уравнением первой степени, косинус икс не может обратится в ноль).

 III.            Если с=0,  то уравнение примет вид  а sin²x+bsinxcosx= 0. Это уравнение решается методом разложения на множители (вынесем sinxза скобку).

Значит, при решении уравнения  а sin²x+bsinxcosx +с cos²x= 0 можно действовать по алгоритму:

ПРИМЕР 2. Решить уравнение  sinxcosx -  cos²x= 0 (синус икс, умноженный на косинус икс минус корень из трех, умноженный на косинус квадрат икс равно нулю).

Решение. Разложим на множители (вынесем за скобку cosx). Получим

cos x(sin x -  cos x)= 0, т.е. cos x=0 илиsin x -  cos x= 0.

Ответ: х =+ πn, х=  + πn.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение  3sin² 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos² 2x= 2 (три синус квадрат двух икс минус удвоенное произведение синуса двух икс на косинус двух икс плюс три  косинус квадрат двух икс) и найти его корни, принадлежащие промежутку ( - π; π).

Решение. Это уравнение не однородное, поэтому проведем преобразования. Число 2, содержащееся в правой части уравнения, заменим произведением  2·1

Так как по основному тригонометрическому тождеству sin² x  + cos²x =1, то

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin² x  + cos²x) = раскрыв скобки получим:  2 sin² x  + 2 cos²x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin² x  + cos² x) =2 sin² x  + 2 cos² x

Значит уравнение 3sin² 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos² 2x= 2 примет вид:

3sin² 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos² 2x = 2 sin² x  + 2 cos² x.

Далее  все перенесем в левую часть и приведем подобные слагаемые:

3sin² 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos² 2x - 2 sin² x  - 2 cos² x=0,

sin² 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos² 2x =0.

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Применим способ почленного деления на cos² 2x :

tg²2x – 2tg 2x + 1 = 0.

Введем новую переменную z= tg2х.

 Имеем z² - 2 z + 1 = 0. Это квадратное уравнение. Заметив в левой части формулу сокращенного умножения -  квадрат разности ( ), получим (z – 1)² = 0, т.е. z = 1. Вернемся к обратной замене:

 tg2х= 1,

Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t= 2х,  a =1 .  А так как данное уравнение имеет решение для любого  значения а и эти решения имеют вид

х = arctg x a + πn, то решение нашего уравнения будет:

2х= arctg1 + πn, 

2х=  + πn ,

х=  +   ,  ( икс равно сумме пи на восемь и пи эн на два).

Нам осталось найти такие значения х,  которые содержатся в интервале

( - π; π), т.е. удовлетворяют двойному неравенству - π х π. Так как

х=  +  ,  то - π  +   π. Разделим все части этого неравенства на π и умножим на 8, получим

-8  1 + 4n 8,

перенесем единицу в право и в лево, поменяв знак на минус один

-9  4n7,

разделим на четыре получим,

для удобства в дробях выделим целые части

– <n< , так как n(эн) целые числа, то

Этому неравенству удовлетворяют следующие целочисленные n: -2, -1, 0, 1