Уроки математики / Видеоурок / Урок «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии»

Урок «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии»

Краткое описание документа:

Видеоурок «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии» дает представление о геометрической прогрессии, ее элементах, формирует умения решать задачи, в которых используются геометрические прогрессии. Задача данного видеоурока – представить учебный материал в наглядном виде, повысить эффективность обучения на уроках математики.

В видеоматериале используются элементы, помогающие удерживать внимание учеников на изучаемом материале, помогать запоминать понятия и определения, способствовать глубокому пониманию материала. Такими инструментами являются анимационные эффекты, выделение цветом, заключение важных материалов в рамки для запоминания и записи в тетради.

Урок «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии»

Урок начинается с представления темы. Вначале предлагается рассмотреть последовательность чисел, которые представляют собой степень с одинаковым основанием и показателем степени. Возрастающем с каждым членом на единицу: 2, 22, 23, 24… Отмечается, что каждый член данной прогрессии, кроме первого, образован умножением на 2  предыдущего члена. Такая последовательность называется геометрической прогрессией. Название прогрессии выделено для запоминания в рамку. Далее демонстрируется определение геометрической прогрессии, которая представляет собой последовательность чисел, не равных нулю, которые образуются умножением предыдущего члена на некоторое одно и то же число, начиная со второго члена. На следующем кадре представлен общий вид геометрической прогрессии (bn), которая определяется тем, что для каждого натурального nбудет bn≠0, а bn+1= bn·q, где q – некоторое число. Рассматривается, каким образом определяется геометрическая прогрессия, описанная в начале урока 2, 22, 23, 24… Если данную последовательность обозначить через (bn), то ее каждый член, больший первого, можно представить равенством bn+1= bn·2. Число q, на которое умножается каждый член прогрессии, здесь равняется 2.

Урок «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии»

Далее вводится понятие знаменателя геометрической прогрессии, который равен уже выделяемому числу q. Для этого указывается, что при делении любого члена геометрической прогрессии на предыдущий член bn+1/bnполучается данное число q, которое неравно 0. Оно и является знаменателем прогрессии. Задание некоторой геометрической прогрессии сводится к указанию ее первого члена и знаменателя.

Приводятся примеры, в которых необходимо определить геометрическую прогрессию, в которой указаны первый член и знаменатель. Описывается геометрическая прогрессия 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001,… с первым членом b1=1 и q=0,1, прогрессия с первым отрицательным членом b1=-4 и знаменателем q=3: -4; -12; -36;…, прогрессия с отрицательным знаменателем q=-2 и первым членом b1=6: 6; 6;…

На основе рассмотренных примеров делается обобщение, каким образом можно найти любой член геометрической прогрессии: b2= b1q, b3= b2q= b1q2 и т.п. Из данных формул видно, что следующий член образуется умножением первого на qn-1. На экран выводится формула bn=b1qn-1. Отмечается, что данная формула есть формулой n-го члена геометрической прогрессии, ее необходимо запомнить, так как она далее будет использоваться в решении задач.

Урок «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии»

Рассматривается пример, в котором описывается нахождение 5-го члена геометрической прогрессии, в которой первый член b1=8 и знаменателем прогрессии является q=1/2. Напоминается изученная формула n-го члена, которая для 5-го члена будет звучать таким образом: b5=b1q5-1. После подстановки чисел, являющихся значениями первого члена и знаменателя, вычисляется 5-й член прогрессии: b5=8·(1/2)4=1/2.

Второй пример демонстрирует нахождение 6-го члена геометрической прогрессии, в которой известен первый и третий члены: b1=64 и b3=16. Для поиска третьего члена прогрессии формула приобретает вид: b3=b1q2. Зная, что каждый следующий член образуется умножением предыдущего на знаменатель, определяем квадрат знаменателя q2= b3/b1=16/64=1/4. Очевидно, что q может принимать значения ½ или -1/2. Решение сводится к вычислению значения 6-го члена в случае, когда знаменатель равен ½ и -1/2. В первом случае b6=b1q5=64·(1/2)5=2, а во втором b6=b1q5=64·(-1/2)5=-2. Поэтому значение 6-го члена может быть 2 или -2.

Урок «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии»

Демонстрируется пример, каким образом используются математические знания о геометрической прогрессии в решении практических задач. Предлагается рассмотреть решение задачи о возрастании суммы банковского вклада за 5 лет, если процент роста составляет 4%, а начальная сумма 6000 рублей. Так как рост вклада за первый год составит 4%, то сумма будет 6000·1,04 р., значение этой суммы за два года будет составлять (6000·1,04)·1,04 или 6000·1,042. Таким образом мы получаем геометрическую прогрессию, в которой каждый последующий член умножается на 1,04. Она будет состоять из чисел 6000, 6000·1,04; 6000·1,042; … Накопления, которые будут на счете через 5 лет, представляют собой 6-й член геометрической прогрессии. По формуле b6=b1q5 находим его значение 6000·1,045≈7300. Это и будет приближенным значением суммы. Задачи подобного типа называются задачами со сложными процентами. Они нередко появляются в экономике, банковском секторе.

На экран для запоминания выведено еще одно полезное правило. Оно утверждает, что квадрат любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, будет равен произведению предыдущего и последующего членов. Данное утверждение подтверждается, если рассмотреть некоторую прогрессию (bn). В ней n-й член равен bn= bn-1q. А n+1-й член определяется bn+1= bnq. Так как все члены геометрической прогрессии не равны нулю, можно их представить отношением bn/bn-1=bn+1/bn. Отсюда значение квадрата будет bn2= bn-1·bn+1. Также отмечается, что к данному утверждению верно и обратное. То есть равенство произведения предыдущего и последующего членов квадрату данного члена означает, что эта последовательность – геометрическая прогрессия.

Обращается внимание учеников на то, что модуль любого члена геометрической прогрессии является средним геометрическим последующего и предыдущего членов. Это подтверждается простой демонстрацией: bn2=bn-1·bn+1, следовательно, | bn|=√(bn-1·bn+1).

Видеоурок «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии» может быть использован как наглядный материал или полноценная часть урока в школе. Он хорошо раскрывает данную тему, поэтому может быть полезен для самостоятельного изучения, может быть полезен в ходе дистанционного обучения.

Автор
Дата добавления 29.08.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Видеоурок
Просмотров2064
Номер материала 671
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.