Урок «Показательные неравенства»

Показательными неравенствами называют неравенства вида

(а в степени эф от икс больше а в степени же от икс, где а-положительное число, отличное от единицы)

и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Теорема:   Показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла

(если основание больше единицы);

показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла , если  (если основание меньше единицы, но больше нуля).

Докажем теорему:

Разделим обе части неравенства на (а в степени же от икс), так как это показательная функция,

Получим  значит, ее значения всегда положительны.

(если основание больше единицы), то показательная функция является возрастающей и данное неравенство равносильно f(x)-g(x)

откуда следует

если  (если основание меньше единицы, но больше нуля), то показательная функция является убывающей и данное неравенство равносильно f(x)-g(x) то есть

Теорема доказана.

Рассмотрим применение данной теоремы при решении примеров.

Пример 1: Решить неравенство:  

(две третьих в степени три икс плюс шесть больше четырех девятых)

Приведем правую часть неравенства к основанию две третьих

Так как основание меньше единицы, то данное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла , а именно +6,

Т.к. +6,

решим полученное неравенство.

Множество решений неравенства состоит из чисел, меньших . Это множество представляет собой числовой промежуток (от минус бесконечности до минус четырех третьих), изображенный на рисунке (ЛИСТ).

Пример 2: Решить неравенство: (два корней из двух, умноженное на два в степени икс минус три больше либо равно одной второй).

Приведем обе части неравенства к основанию два (воспользовавшись определением отрицательной степени:, имеем ; а дальше так как =  и по свойству степеней при умножении степеней их показатели складываются. 

Так как основание больше единицы, то данное неравенство равносильно неравенству того же смысла:  

Т.к.

Решим полученное неравенство

Множество решений неравенства состоит из чисел, больших либо равных . Это множество представляет собой числовой промежуток луч от нуля целых пяти десятых до плюс бесконечности, изображенный на рисунке.

Ответ .

Пример 3: Решите неравенство: (семь в степени икс квадрат минус пять икс меньше одной седьмой в шестой степени).

Приведем обе части неравенства к основанию семь .

Так как основание больше единицы, то данное неравенство равносильно неравенству того же смысла 

Корни квадратного трехчлена найдем по формулам:

(икс первый равен минус бэ плюс корень из дэ, деленное на два а;

икс второй равен минус бэ минус корень из дэ, деленное на два а).

Применим метод интервалов. Для этого изобразим схематически параболу (ветви которой направлены вверх, т.к. а = 1) и, с учетом знака неравенства, запишем ответ (рис1)  (интервал от двух до трех).

Пример 4: Решить уравнение  (три в степени два икс минус четыре, умноженное на три в степени икс, плюс три меньше либо равно нулю).

Введем новую переменную и обозначим  (три в степени икс через игрек) и получим квадратное неравенство  (игрек квадрат минус четыре икс плюс три меньше либо равно нулю), решим полученное неравенство.

Найдем корни полученного квадратного трехчлена, используя формулу дискриминанта (в нашем случае  = - 4, а = 1, с = 3), имеем

Корни квадратного трехчлена найдем по формулам:

Применим метод интервалов. Для этого изобразим схематически параболу (ветви которой направлены вверх, т.к. а = 1 ) и, с учетом знака неравенства, запишем ответ (рис2)  (интервал от единицы до трех).

Проведем обратную замену и решим двойное неравенство:

Ответ: 0 (отрезок от нуля до единицы).