Урок «Понятие корня n-й степени из действительного числа»

Решим графически уравнение  (икс в шестой степени равно единице), для этого построим в одной системе координат следующие графики функций:  ( игрек равен икс в шестой степени)

и у=1( игрек равен единице). Как мы видим, они пересекаются в двух точках  М и Н, где абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения  (икс в шестой степени равно единице), т.е. . (рис.1)

Найдем корни уравнения.

Аналогично строим в одной системе координат графики функции   и у=81

Как мы видим, они пересекаются в двух точках  А и С, где абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения   ,т.е. .(рис.2)

Из решения двух уравнениий мы видим, что каждое из них имеет два  корня, причем эти числа взаимно противоположны.

В этих двух уравнениях корни находятся достаточно легко.

Рассмотрим уравнение 7 (икс в шестой степени равен семи) (рис.3)

Строим в одной системе координат графики функции   и у=7

По чертежу видно, что уравнение имеет два корня икс один и икс два, но точные их значения указать нельзя, а только приближенные: они располагаются на оси х, один корень  чуть левее точки   -1, а второй — чуть правее точки 1.

Для того, чтобы разрешить аналогичные ситуации, математики ввели новый символ , корень шестой степени. И с помощью этого символа корни данного уравнения можно записать так:  (икс один равен корень шестой степени из семи и икс два равен  минус корень шестой степени из семи).

Рассмотрим решение уравнений с нечетной степенью   

и    (рис.4)

Как видно из чертежей, каждое из уравнений имеет один корень, но в первом уравнении корнем является целое число два, а во втором точно указать значение нельзя, следовательно, для него введем обозначение  (корень пятой степени из шести).

Исходя из рассмотренных примеров сделаем вывод и дадим определение:

1.Уравнение   (икс в степени эн равно а) , где n(эн) – любое натуральное четное  число, а имеет два корня:

 (корень энной степени из числа а и минус корень энной степени из числа а)

2.Уравнение  (икс в степени эн равно а)  , где n(эн) – любое натуральное нечетное  число, а (а больше нуля) имеет один корень:   (корень энной степени из числа а)

3.Уравнение (икс в степени эн равно ноль) имеет единственный корень х=0 (икс равен нулю).

Определение: Корнем n-й (энной) степени из неотрицительного числа а (n=2,3,34,5…) называют такое неотрицительное  число ,которое при возведении в степень n (эн) дает в результате  число а.

Это число обозначают  (корнем энной степени из числа а). Число а при этом называют подкоренным числом, а число n (эн) – показателем корня.

(Частный случай вы изучали в алгебре  8-го класса, когда n=2: пишут  (корень квадратный из а)).

Необходимо  запомнить, если

     .

(если а неотрицательное число, n — натуральное число, большее единицы, то корень энной степени из числа а есть неотрицательное число и если корень энной степени из числа а возвести в энную степень, то получим число а, то есть подкоренное число).

Другими словами, определение можно перефразировать следующим образом: 

(корнем энной степени из числа а называется число бэ, энная степень которого равна а).

Под термином извлечение из под корня понимают нахождение корня из неотрицательного числа. Другими словами, нужно выполнить обратное действие к возведению в соответствующую степень. Рассмотрим таблицу:

Будьте  внимательны, согласно определению корня энной степени, в таблице рассматриваются только положительные числа.

Рассмотрим пример 1: Вычислите 

Решение:

а)(корень шестой степени из шестидесяти четырех равен двум, так как два – положительное число и два в шестой степени равно шестидесяти четырем).

 (корень третьей степени из ноля целых двести шестнадцати тысячных равен ноль целых шесть десятых, так как найденное число положительно и в третьей степени дает падкоренное число)

 ,так как =

г) Согласно определению корня энной степени запишем два равенства:   и

Следовательно, нам нужно найти число, которое в четвертой степени равно 55, но два в четвертой степени равно шестнадцати, что меньше 55,

 , и три в четвертой степени равно восьмидесяти одному, что больше 55, . Значит, точного значения указать нельзя, поэтому воспользуемся знаком приближенного равенства с точностью до сотых .

Для извлечения корня из отрицательного числа пользуются вторым определением:

Определение: Корнем нечетной степениn из  отрицательного  числа а (n=3,5,7,…)называют такое отрицательное число m, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

число а при этом называют подкоренным числом, а число n (эн) – показателем корня.

Для корня нечетной степени справедливы два свойства:

если

(если а — отрицательное число,n — натуральное нечетное число, большее единицы, то корень энной степени из числа а есть отрицательное число, и если корень энной степени из числа а возвести в энную степень, то получим число а, то есть подкоренное число).

Проанализировав определения и свойства корня энной степени из числа, сделаем вывод:

- Корень четной степени имеет смысл (то есть определен) только для неотрицательного подкоренного выражения;

- корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения