Урок «Понятие логарифма»

10. Понятие логарифма

Решим графически уравнение (три в степени икс равно восьми), для этого в одной системе координат построим два графика функции у=8 и у= (Рис 1).  Составим таблицу:

Чертеж показывает, что уравнение имеет один корень, но точного значения указать нельзя. В связи с этим в математике был введен новый символ  – логарифм по основанию а. Используя данный символ, можно записать корень уравнения х= (икс равен логарифму восьми по основанию три).

Сейчас для любого уравнения вида

(а в степени икс равняется бэ, где а и бэ — положительные числа и а неравно единице, существует единственный корень — икс равен логарифм  числа бэ по основанию а).

Дадим определение понятия логарифма: логарифмом положительного числа b (бэ) по положительному и отличному от единицы основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b (бэ).

Например:    (логарифм двадцати семи по основанию три равен трем, так как три в кубе равно двадцати семи).

 (логарифм одной шестьдесят четвертой по основанию два равен минус шесть, так как два в минус шестой степени равно одной шестьдесят четвертой).

 (логарифм восьмидесяти одного по основанию одной девятой равен минус два, так как одна девятая в минус второй степени равна восьмидесяти одному).

 (логарифм четырех по основанию шестнадцати равен одной второй, так как шестнадцать в степени одна вторая равно четырем).

Выделим и обоснуем три формулы:

1.  (логарифм числа а по основанию а равен единице, так как любое число в первой степени равно самому себе). Значит,
2.  (логарифм единицы по основанию а равен нулю, так как любое число в нулевой степени равно единице). Таким образом,

3. (логарифм числа а в степени эм по основанию а равен эм, так как а в степени эм равняется а в степени эм). Следовательно,

Рассмотрим . Так как точного рационального значения  (логарифма восьми по основанию три) мы указать не можем, то такие числа принято называть иррациональными.

Обоснуем это:

Пусть  – рациональное число, тогда его можно представить в виде дроби эм, деленное на эн, где эм и эн — натуральные числа: . Тогда, применив определение логарифма и свойство степени, получим (три в степени эм равно восьми в степени эн), но этого быть не может, так как три в степени эм – целое число, кратное трем, а восемь в степени эн – целое число кратное двум

Получили противоречие  нашему утверждению, значит

Посмотрите и запомните,  как на математическом языке выглядит определение логарифма:  (а в степени логарифм числа бэ по основанию а равно бэ)

Например:

Другими словами,  если основание степени и основание логарифма, стоящего в степени, равны, то значение выражения равно подлогарифмическому числу.

Рассмотрим вычисление значения логарифма.

Пример1: Вычислите  (логарифм числа двести двадцать пять корней кубических из пятнадцати по основанию одна пятнадцатая)

 (логарифм числа двести двадцать пять корней кубических из пятнадцати по основанию одна пятнадцатая)

Применим определение логарифма и получим   =225 (одна пятнадцатая в степени икс равно двести двадцать пять корней кубических из пятнадцати).

Решим полученное показательное уравнение.

приведя обе части уравнения к основанию пятнадцать получим:

воспользуемся свойством степени (при умножении показатели складываются)  

значит,  (т.к.  )

получим ответ: икс равен  минус семь третьих 

Математики для логарифма по основанию 10 ввели новое обозначение  и назвали логарифм по основанию десять десятичным логарифмом. Вместо.