Урок «Преобразование выражений, содержащих радикалы»

Выражения, содержащие корни, называются  выражениями с радикалами, либо иррациональными выражениями.  Вы уже знакомы с извлечением корня n-й степени из действительного числа. Напомним некоторые формулы для неотрицательных значений a и b.

=, (энная степень корня энной степени из а равна а)    (корень энной степени из энной степени а равен а)

   (Корень энной степени из произведения равен произведению корней энной степени).

3.     (корень энной степени из частного а на бэ равен частному корней энной степени  из а и бэ)
4. чтобы возвести корень энной степени в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

     (Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится)                                

Опираясь на знания предыдущих лет и прошлых уроков, мы рассмотрим примеры на преобразование иррациональных выражений.

Пример 1: Упростите выражения:

Решение: подкоренное выражение разложим на множители так, чтобы корень можно было извлечь, и применим формулу (2)  (Корень энной степени из произведения равен произведению корней энной степени). =

Извлечем корень кубический из 27 и =

=

Пример 1: Упростите выражение:

Решение: применим формулу (4) чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы извлекался корень:

применим формулу  (2)   (Корень энной степени из произведения равен произведению корней энной степени).

Из курса алгебры восьмого класса вспомним тождество  (квадратный корень из а в квадрате равен модулю а) Это тождество распространяется и на случаи любого четного показателя корня   (корень степени два эн из а в степени два эн равен модуль а).

Например, когда вы не уверены, что переменные принимают только положительные значения,  т.е. о знаке числа а ничего не известно, необходимо рассуждать так:

== (корень шестой степени из произведения а в шестой степени на икс равно произведению корней шестой степени из а в шестой степени и икс равно произведению модуль а и корня шестой степени из икс).

Мы уже упоминали, что все формулы справедливы и выполняются в обе стороны, значит необходимо рассмотреть примеры на внесение множителя под знак радикала.

Пример 2: Сравните числа:  и 5

Применим формулу (1) =, (энная степень корня энной степени из а равна а)

  (корень энной степени из энной степени а равен а)

и внесем два под знак радикала, получим

а так как произведение корней равно корню из произведения, то

Преобразуем второе число.

=

Так как   , то  можно сделать вывод, что два корня четвертой степени из пяти меньше, чем пять корней четвертой степени из двух 5,

Пример 3: Упростите выражение

Преобразование данного выражения разобьем на два этапа.

несем множитель игрек в четвертой степени под знак корня третьей степени

 (произведение корней третьей степени из куба игрек в четвертой степени и квадрата игрек) и применим формулу  (2)  (Корень энной степени из произведения равен произведению корней энной степени), тогда

 (корень кубический из произведения игрека в двенадцатой степени и квадрата игрек равно корню кубическому из игрека в 14 степени)

Этап 2: =

Здесь применили формулу  (5)     (

Мы получим искомый результат (корень пятнадцатой степени из игрека в четырнадцатой).

Пример 4: Выполните действия: (произведение разности корней шестой степени из икс и из игрек на сумму этих же корней)

Решение:

Осуществим замену (корень шестой степени из икс обозначим – а, а корень шестой степени из игрек – бэ)

Применим формулу сокращенного умножения и получим:

=

(произведение разности корней шестой степени из икс и из игрек на сумму этих же корней равно разности квадратов корней шестой степени из икс и из игрек).

Применим формулу (4) чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение), получим

Применим формулу  (6)  (Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится)                                 выполним действие: показатель корня и подкоренного выражения  разделим на 2 и получим:

Пример 5: Выполните действия:       а)        

Решение: а) Так как корни различной степени, то их перемножить нельзя. Следовательно, воспользуемся (6) формулой   (Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится)    

и приведем их к одной степени,  предварительно найдя наименьшее общее кратное двух степеней.

(корень седьмой степени из игрека в пятой степени равно корню сто пятой степени из игрек в шестьдесят пятой степени)

(корень пятнадцатой степени из игрека в восьмой степени равно корню сто пятой степени из игрек в пятьдесят шестой степени)

Воспользуемся формулой (2)  (Корень энной степени из произведения равен произведению корней энной степени), тогда

(произведение корней сто пятой степени из игрека в 65 степени и игрека и 56 степени равно корню сто пятой степени из произведения игрека в 65 степени и игрека и 56 степени, равно корню сто пятой степени из игрека в сто двадцать первой степени).

Вынесем множитель из под знака корня, для этого разложим подкоренное выражение на множители =

и применим формулу (2)  (Корень энной степени из произведения равен произведению корней энной степени): 

(корень сто пятой степени из произведения игрек в 105 степени и игрек в 16 степени равно произведению корней 105 степени из игрек в 105 степени и игрек в 16 степени)

Применим формулу:

 и получим, что 

(произведение корней 105 степени из игрек в 105 степени и игрек в 16 степени равно произведению игрека на корень 105 степени из игрека в 16 степени).