Уроки математики / Видеоурок / Урок "Разложение на множители разности n-х степеней"

Урок "Разложение на множители разности n-х степеней"

Краткое описание документа:

Формулы сокращенного умножения – это очень удобный инструмент для операций с многочленами. Как правило, это позволяет сократить сложные конструкции полиномов до небольшого выражения, представляемого двучленом. Либо же,в ином порядке – из произведения двух многочленов легко выводится компактный бином.

Урок "Разложение на множители разности n-х степеней"

Такие действия бывают необходимыми при решении тривиальных уравнений и неравенств, а также при различных доказательных задачах.

В прошлых видеоуроках мы рассмотрели формулы разности квадратов и разности кубов. Попытаемся вывести формулу ещё более высокого порядка – найдем, чему равна разность выражений в четвертой степени:

х4 – у4

Это выражение сравнительно легко преобразовать, подставив вместо х4 и у4 идентичные квадратные выражения (х2)2 и (у2)2:

х4 – у4 = (х2)2 – (у2)2

В итоге мы получаем разность квадратов, которую можно представить при помощи элементарной ФСУ как:

2)2 – (у2)2 = (х2 + у2)(х2 – у2)

С другой стороны, вторые скобки полученного выражения содержат разность квадратов, которую можно легко преобразовать:

2 + у2)(х2 – у2) = (х2 + у2)((х + у)(х - у))

Отсюда следует, что:

х4 – у4 = (х2 + у2)(х + у)(х – у)

Оставим основополагающую общую часть (х - у), остальные два выражения в скобках перемножим:

х4 – у4 = (х2 + у2)(х + у)(х – у) = (х – у)(х3 + х2у + ху2 + у3)

Для чего необходимо выделять (х – у), будет показано позже. Итак, мы нашли ещё одну формулу для разности степенных выражений. Это равенство достаточно сложно для выражения – однако стоит понимать, что оно вполне логично вписывается в ряд подобных формул для определения разности квадратов и кубов. Сравним эти формулы между собой, для того, что бы найти общие закономерности:

х2 – у2 = (х – у)(х + у)

х3 – у3 = (х – у)(х2 + 2ху + у2)

х4 – у4 = (х – у)(х3 + х2у + ху2 + у3)

Урок "Разложение на множители разности n-х степеней"

На видео четко представлено, что разности переменных в различной степени имеют некоторые закономерности. Все выражения по правую сторону равенства состоят из произведения двух многочленов, причем один из них всегда имеет форму х – у (изначальная разность выражений). Второй же образован неким сложным полиномом, количество одночленов которого растет со степенью.

Для выведения общей формулы, которая поможет преобразовать в произведение полиномов разность переменных с любой степенью, важно понять общие тенденции в равенствах начального порядка. Заметим, что второй многочлен в нашем произведении представляет собой сумму попарных произведений двух выражений. Причем степени переменных находятся в обратной взаимосвязи. Чтобы было легче понять эти закономерности, перепишем равенство для разности выражений четвертой степени таким образом:

х4 – у4 = (х – у)(х3у0 + х2у1 + х1у2 + х0у3)

Любое число в нулевой степени обязательно равно единице. Поэтому к любой реальной переменной можно смело дописывать конструкцию с нулевой степенью. Помним так же, что любая переменная имеет степень – если она не указана, то равна единице. Эти правила обращения со степенями и позволили представить равенство в более понятном виде.

Обратим внимание, что количество членов в многочлене вторых скобок равно основной степени (которую имеют переменные в разности). По ряду многочлена, степень одного выражения алгебраически убывает, а степень второго – прибывает. При этом крайними точками для степеней являются 0 и старшая степень начальной разности выражений.

Пользуясь этими соображениями, выведем формулу для нахождения разности выражений пятой степени:

х5 – у5 = (х – у)(х4у0 + х3у1 + х2у2 + х1у3 + х0у4)

Урок "Разложение на множители разности n-х степеней"

Для начала, мы прописываем первый множитель (х – у) без изменений. Второй же многочлен будет представлять сумму пяти элементов (по старшей степени). Элементы, в свою очередь, образованы произведением переменных с алгебраическим, обратным и взаимосвязанным изменением степеней. В многочлене:

х4у0 + х3у1 + х2у2 + х1у3 + х0у4

х понижает степень с 4 до 0, у повышает с 0 до 4. Для самопроверки полезно знать, что сумма степеней любого одночлена, в данном случае, будет равна все той же старшей степени – 5.

Остается лишь корректно записать формулу, избавившись от нулевых степеней:

х5 – у5 = (х – у)(х4 + х3у + х2у2 + ху3 + у4)

В общем плане, для любой степени n верно равенство:

(х)n – (у)n = (х – у)((х)n + (х)n-1у…+х(у)n – 1 + уn)

Урок "Разложение на множители разности n-х степеней"

Универсальная формула для нахождения суммы двух выражений с n-ной разностью выводится через преобразование вида:

хn + уn = хn – (-уn)

Пользуясь формулой для разности выражений, полученной выше, выводим равенство:

хn + уn = хn – (-уn) = (х + у)((х)n-1 - (х)n-2у…- х(у)n – 2 + уn-1)

В силу того, что квадрат любого выражения ликвидирует его отрицательность, нельзя доступными средствами представить сумму квадратов (или любых четных степеней) переменных как произведение двух многочленов.

 

Автор
Дата добавления 02.08.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Видеоурок
Просмотров4804
Номер материала 458
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.