Урок "Разложение на множители разности n-х степеней"

Формулы сокращенного умножения – это очень удобный инструмент для операций с многочленами. Как правило, это позволяет сократить сложные конструкции полиномов до небольшого выражения, представляемого двучленом. Либо же,в ином порядке – из произведения двух многочленов легко выводится компактный бином.

Такие действия бывают необходимыми при решении тривиальных уравнений и неравенств, а также при различных доказательных задачах.

В прошлых видеоуроках мы рассмотрели формулы разности квадратов и разности кубов. Попытаемся вывести формулу ещё более высокого порядка – найдем, чему равна разность выражений в четвертой степени:

х⁴ – у⁴

Это выражение сравнительно легко преобразовать, подставив вместо х⁴ и у⁴ идентичные квадратные выражения (х²)² и (у²)²:

х⁴ – у⁴ = (х²)² – (у²)²

В итоге мы получаем разность квадратов, которую можно представить при помощи элементарной ФСУ как:

(х²)² – (у²)² = (х² + у²)(х² – у²)

С другой стороны, вторые скобки полученного выражения содержат разность квадратов, которую можно легко преобразовать:

(х² + у²)(х² – у²) = (х² + у²)((х + у)(х - у))

Отсюда следует, что:

х⁴ – у⁴ = (х² + у²)(х + у)(х – у)

Оставим основополагающую общую часть (х - у), остальные два выражения в скобках перемножим:

х⁴ – у⁴ = (х² + у²)(х + у)(х – у) = (х – у)(х³ + х²у + ху² + у³)

Для чего необходимо выделять (х – у), будет показано позже. Итак, мы нашли ещё одну формулу для разности степенных выражений. Это равенство достаточно сложно для выражения – однако стоит понимать, что оно вполне логично вписывается в ряд подобных формул для определения разности квадратов и кубов. Сравним эти формулы между собой, для того, что бы найти общие закономерности:

х² – у² = (х – у)(х + у)

х³ – у³ = (х – у)(х² + 2ху + у²)

х⁴ – у⁴ = (х – у)(х³ + х²у + ху² + у³)

На видео четко представлено, что разности переменных в различной степени имеют некоторые закономерности. Все выражения по правую сторону равенства состоят из произведения двух многочленов, причем один из них всегда имеет форму х – у (изначальная разность выражений). Второй же образован неким сложным полиномом, количество одночленов которого растет со степенью.

Для выведения общей формулы, которая поможет преобразовать в произведение полиномов разность переменных с любой степенью, важно понять общие тенденции в равенствах начального порядка. Заметим, что второй многочлен в нашем произведении представляет собой сумму попарных произведений двух выражений. Причем степени переменных находятся в обратной взаимосвязи. Чтобы было легче понять эти закономерности, перепишем равенство для разности выражений четвертой степени таким образом:

х⁴ – у⁴ = (х – у)(х³у⁰ + х²у¹ + х¹у² + х⁰у³)

Любое число в нулевой степени обязательно равно единице. Поэтому к любой реальной переменной можно смело дописывать конструкцию с нулевой степенью. Помним так же, что любая переменная имеет степень – если она не указана, то равна единице. Эти правила обращения со степенями и позволили представить равенство в более понятном виде.

Обратим внимание, что количество членов в многочлене вторых скобок равно основной степени (которую имеют переменные в разности). По ряду многочлена, степень одного выражения алгебраически убывает, а степень второго – прибывает. При этом крайними точками для степеней являются 0 и старшая степень начальной разности выражений.

Пользуясь этими соображениями, выведем формулу для нахождения разности выражений пятой степени:

х⁵ – у⁵ = (х – у)(х⁴у⁰ + х³у¹ + х²у² + х¹у³ + х⁰у⁴)

Для начала, мы прописываем первый множитель (х – у) без изменений. Второй же многочлен будет представлять сумму пяти элементов (по старшей степени). Элементы, в свою очередь, образованы произведением переменных с алгебраическим, обратным и взаимосвязанным изменением степеней. В многочлене:

х⁴у⁰ + х³у¹ + х²у² + х¹у³ + х⁰у⁴

х понижает степень с 4 до 0, у повышает с 0 до 4. Для самопроверки полезно знать, что сумма степеней любого одночлена, в данном случае, будет равна все той же старшей степени – 5.

Остается лишь корректно записать формулу, избавившись от нулевых степеней:

х⁵ – у⁵ = (х – у)(х⁴ + х³у + х²у² + ху³ + у⁴)

В общем плане, для любой степени n верно равенство:

(х)ⁿ – (у)ⁿ = (х – у)((х)ⁿ + (х)^n-1у…+х(у)^{n – 1} + уⁿ)

Универсальная формула для нахождения суммы двух выражений с n-ной разностью выводится через преобразование вида:

хⁿ + уⁿ = хⁿ – (-уⁿ)

Пользуясь формулой для разности выражений, полученной выше, выводим равенство:

хⁿ + уⁿ = хⁿ – (-уⁿ) = (х + у)((х)^n-1 - (х)^n-2у…- х(у)^{n – 2} + у^n-1)

В силу того, что квадрат любого выражения ликвидирует его отрицательность, нельзя доступными средствами представить сумму квадратов (или любых четных степеней) переменных как произведение двух многочленов.