Урок "Решение прямоугольных треугольников"

Видеоурок «Решение прямоугольных треугольников» представляет учебный наглядный материал по данной теме для урока алгебры. В ходе видеоурока раскрывается понятие решения прямоугольных треугольников, доказывается теорема о равенства, которые являются справедливыми для прямоугольного треугольника, описываются примеры решения задач по теме. Видео поможет сформировать представление о способах решения прямоугольных треугольников, направлено на формирование соответствующих умений.

С помощью видеоурока учитель может повысить эффективность урока алгебры. При использовании материала отпадает необходимость использовать другие средства для формирования представления о предмете изучения. Видео как средство, разнообразящее способы ведения урока, также помогает удержать внимание учеников. С помощью анимационных эффектов построения более приближены к традиционным построениям, выполняемым на классной доске, однако дополнительно к этому они могут содержать выделение цветом, четкие линии построения хорошо видны с любого места в классе.

Видеоурок начинается с представления темы. На экране изображается прямоугольный треугольник CDE, стороны которого обозначаются a, b, c. На примере данного треугольника представляется теорема о сторонах и углах треугольника, в которой синус, косинус, тангенс и котангенс угла с треугольника выражаются отношением его сторон. При этом sinc=a/c, cosc=b/c, tgc=a/b, ctgc=b/a. Доказательство теоремы основывается на совмещении имеющегося треугольника с единичной окружностью так, что вершина угла С совпадает с центром окружности, а катет ОЕ лежит на оси абсцисс Ох. Гипотенуза CD пересекает окружность в точке F. Из данной точки опускаем перпендикуляр FP на ось Ох. При этом длина отрезков СР и FP – координаты точки F. Абсцисса точки совпадает с косинусом угла С: СР=cosC, а ордината точки совпадает с синусом угла С: FP=sinC. Знаем, что радиус единичной окружности – 1, а длины гипотенузы CD = с, катетов СЕ=b, DE=a. Также отмечаем, что треугольники ΔCFP и ΔCDE подобны по первому признаку. Ученикам напоминается первый признак подобия треугольников, который утверждает о подобии треугольников при наличии у них двух одинаковых углов. Так как у двух полученных треугольников одинаковый угол С по построению, угол∠DECравен 90 ° по условию теоремы, а угол ∠FPC также является прямым по построению, то они подобны. Это означает, что соответствующие стороны данных треугольников являются пропорциональными. Значит, справедливы отношения FP/DE=CF/CD=CP/CE, из которых следует равенство отношений sinc/а= cosc/ b=1/с. Из пропорции sinc/а=1/с определяем, что sinc= a/c. Из пропорции cosc/ b=1/с определяем, что cosc=b/c. Пользуясь определением тангенса угла, который равен отношения синуса к косинусу, находим из данных выражений тангенс tgc=a/b. Зная, что котангенс является функцией, обратной к тангенсу и ctgc=1/ tgc, находим ctgc=b/a. Утверждение доказано.

Далее рассматривается описание решения задачи , в которой необходимо найти сторону х прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке. На экране изображается треугольник, в котором искомая сторона – один из катетов, угол напротив искомой стороны равен α, а прилежащий к нему катет 4 единицы. Зная, что tgα – это отношение противоположного катета к прилежащему, то есть tgα=х/4, поэтому сторону можно выразить через тангенс угла х=4 tgα.

Рассматривается решение задачи, в которой также необходимо найти сторону х прямоугольного треугольника. На рисунке изображен прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза 4, один из углов 45°, а противолежащая ему сторона является искомой. Для решения задачи необходимо вспомнить формулу синуса угла. Согласно ей, для данного треугольника sin 45°=х/4. Из данного выражения можем выразить искомую сторону х=4 sin 45°=2√2. Задача решена.

Последняя задача аналогична первым двум, только в ней искомой стороной является прилежащий к углу катет. Поэтому пользуемся формулой косинуса угла cos 60°=х/4. Из данной формулы находим значение искомой стороны х=4·cos 60°=4·1/2=2. Задача решена.

Видеоурок «Решение прямоугольных треугольников» рекомендуется применяться для повышения эффективности традиционного урока в школе. Также данный материал будет полезен учителю, осуществляющему дистанционное обучение, для наглядности объяснения. Материал может быть рекомендован слабым ученикам для дополнительного занятия по усвоению учебной информации.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

 «Решение прямоугольных треугольников».

вершина C совпадает с центром О окружности, катет CE с положительным направлением оси абсцисс. Точку пересечения гипотенузы CD с окружностью обозначим F. Опустим из точки Fна прямую СE перпендикуляр FР( эф пэ).Заметим, что CР и FР – это абсцисса и ордината точки F, значит, CР= cos C, FP = sin C( цэ пэ равно косинус цэ, эф пэ равно синус цэ). Радиус числовой окружности равен единице, поэтому CF= 1. CD = c, СE= b , DE= а.

Рассмотрим треугольники CFР и СDE. Так как они подобны, по первому признаку подобия треугольников (Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.), тое есть угол DCE и угол  FCP – общий по построению, угол CED прямой по условию,  а угол CPF прямой по построению, значит угол  CED равен углу CPF,

 значит  соответствующие стороны треугольников CFР и СDE пропорциональны :  =  = ( эф пэ относится к дэ е как цэ эф к цэ дэ как цэ пэ к цэ е) , то есть  =  =  ,   ( синус угла цэ относится к а как единица к цэ и как косинус  угла цэ относится к бэ)

Из пропорции  =  ( синус угла цэ относится к а как единица к эс) выразим синус цэ : синус цэ равен отношению а к эс ( sinС =  ), из пропорции  =   (косинус угла цэ относится к бэ как единица к эс) выразим косинус цэ: косинус цэ равен отношению бэ к сэ (cosС =  ). Вспомним, что тангенс угла цэ – это отношение синуса угла цэ к косинусу угла цэ, то есть

(тангенс цэ  равен отношению а к бэ).

А так как тангенс цэ  и котангенс цэ  взаимно обратны( их произведение равно единице), то котангенс цэ равен

 ctgС =  (отношению бэ к а   ).

Теорема доказана.

Рассмотрим задачу.

ЗАДАЧА. Найти  сторону  x прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке

Решение.  Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке, запишем tgα =  ( тангенс альфа равно икс деленное на четыре), откуда выразим икс : х = 4 tgα ( икс равно четыре тангенс альфа).

ЗАДАЧА. Найти  сторону  x прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке :

б) Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке, запишем

sin 45°=  (синус сорока пяти градусов равен икс деленному на четыре), откуда  х = 4 sin 45° = 4 ∙  = 2 ( икс равно произведению четырех и синуса сорока пяти градусов , а нам известно, что синус сорока пяти градусов равен корень из двух на два, поэтому конечный ответ два корней из двух).

ЗАДАЧА. Найти  сторону  x прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке :

Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке, запишем

cos 60 °=  ( косинус шестидесяти градусов равен икс деленное на четыре), откуда выразим икс:  х = 4 cos 60 °= 4 ∙  = 2 ( икс равно произведению четырех и косинуса шестидесяти градусов , а нам известно, что косинус шестидесяти градусов равен одной второй, поэтому конечный ответ два).