Урок "Система линейных уравнений с тремя переменными"

В математике существует определение уравнения с тремя переменными. До этого, в прошлых видеоуроках, мы рассматривали, как правило, уравнения с одной или с двумя неизвестными. В решении большинства задач подобных конструкций вполне достаточно. Однако в некоторых случаях требуется знания свойств линейных уравнений и с тремя переменными.

Рассмотрим абстрактный пример:

ax + by + cz = d

Это линейное уравнение с тремя переменными x, y, и z, включающее свободный член d, и коэффициенты при переменных a, b, и c. Само по себе, подобное уравнение редко когда бывает полезным. Оно не может быть представлено в виде простой функциональной зависимости, и не имеет решения напрямую, если неизвестны две, и более переменных.

Однако трехпеременные уравнения играют большую роль при решении системы линейных уравнений, состоящих из трех равенств.

Обычно, системы уравнений включают лишь два выражения, представляющих взаимосвязь между х и у в разных ракурсах. Добавление третьего уравнения позволяет ввести и третью переменную, которая связана с х и у определенной зависимостью.

Иначе говоря, линейная система уравнений с тремя неизвестными – это три взаимосвязанных равносильных уравнения, каждое из которых содержит три неизвестные переменные. Соответственно, корнями подобной системы называется такая тройка чисел, при введении которой вместе х, у и z все три уравнения приобретут форму правильного равенства. Решение любой подобной системы проводится при помощи метода подстановки, или путем сложения. Рассмотрим практический пример. Найти корни системы уравнений вида:

3х + 5у + 2z = 19

2х – 2у – 3z = 1

4х – у – 3z = 8

Используя третье уравнение, выразим значение у через остальные переменные:

4х – у – 3z = 8

-у = 8 – 4х + 3z

у = -8 + 4х – 3z

Исключив одну переменную, определив её значение, можно подставить его в два других уравнения, получив, таким образом, систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

3х + 5у + 2z = 19

2х – 2у – 3z = 1

у = -8 + 4х – 3z

3х + 5(-8 + 4х – 3z) + 2z = 19

2х – 2(-8 + 4х – 3z) – 3z = 1

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, сокращаем противоположные значения:

3х + 5(-8 + 4х – 3z) + 2z = 19

2х – 2(-8 + 4х – 3z) – 3z = 1

3х – 40 + 20х – 15z + 2z = 19

2х + 16 – 8х + 6z – 3z = 1

23х – 13z = 59

-6х + 3z = -15

Для упрощения второго выражения проводим деление обеих частей равенства на -3:

2х – z = 5

Откуда выражаем переменную z, как:

2х = 5 + z

z = 2х – 5

Подставляем значение z в уравнение 23х – 13z = 59, решаем его:

23х – 13z = 59

z = 2х – 5

23х – 26х + 65 = 59

-3х = -6

х = 2

Нам удалось найти первый корень для нашей системы трехпеременных уравнений. Подставляем его в любое удобное уравнение для вычисления z: логичней пользоваться короткой формой z = 2х – 5, ведь применяя тождественные преобразования, мы получаем абсолютно равносильные выражения. Находим вторую переменную:

z = 2х – 5

х = 2

z = 4 – 5 = -1

Теперь можно найти у, подставив соответствующие значения известных переменных в следующее выражение:

у = -8 + 4х – 3z

х =2

z = -1

у = -8 + 8 + 3 = 3

Таким образом, мы получили все три корня для данной системы уравнений – это тройка чисел 2, 3, -1.

Следует отметить, что система уравнений, которая включает три выражения, должна равномерно содержать все три переменных в каждом равенстве. Иначе с нахождением корней могут быть принципиальные проблемы.