Урок "Скалярное произведение в координатах"

Видеоурок «Скалярное произведение в координатах» демонстрирует формулировку и доказательство теоремы о координатах скалярного произведения двух векторов, а также следствий этой теоремы. Данная тема важна для решения многих практических задач, поэтому ее необходимо хорошо усвоить, запомнить способ нахождения скалярного произведения в координатах, чтобы потом применять его при решении задач. Задача видеоурока как наглядного пособия по теме – облегчить усвоение и запоминание материала.

В видеоуроке используются анимационные эффекты, которые помогают запомнить понять ход рассуждений при доказательстве утверждений и запомнить формулировку теоремы, следствий из него. Важные детали доказательства и выводы при этом выделяются цветом, облегчая запоминание. Голосовое сопровождение, заменяющее объяснение учителя, в сочетании с хорошо структурированным видеоматериалом, дает возможность полностью заменить учителя при подаче стандартного блока учебного материала.

В начале видеоурока представляется его тема. Утверждается, что скалярное произведение векторов вычисляется также по координатам этих векторов. На экране демонстрируется формулировка теоремы, утверждающей, что в прямоугольной системе координат для векторов, выраженных координатами aˉ{x₁;y₁} и bˉ{x₂;y₂}, скалярное произведение определяется формулой aˉ·bˉ= x₁x₂+y₁y₂.

Доказательство теоремы начинается с рассмотрения ее для векторов, один из которых является нулевым. Очевидно, в этом случае произведение равно нулевому вектору 0ˉ. Действительно, при умножении каждой координаты aˉ=0ˉ или bˉ=0ˉ получаем произведение aˉ·bˉ=x₁x₂+y₁y₂=0ˉ. Затем рассматривается произведение в случае, когда каждый из векторов не равен нулю, то есть aˉ≠0, bˉ≠0. На экране из точки О к точкам А и В строятся векторы ОАˉ=аˉ и ОВˉ= bˉ. Неколлинеарность данных векторов означает, что при применении к ним теоремы косинусов АВ²=ОА²+ОВ²-2ОА·ОВ·cosα.

В случае коллинеарности векторов aˉ и bˉ указанное равенство в координатах также будет верно. На экране демонстрируется построение двух коллинеарных векторов aˉ и bˉ - сонаправленных и противоположно направленных. Отмечается, что в этом случае вектор АВˉ= bˉ- aˉ. ОАˉ=аˉ, ОВˉ= bˉ. По формуле скалярного квадрата для коллинеарных векторов |aˉ-bˉ|²=|aˉ|²+|bˉ|²-2aˉbˉ. Координаты векторов aˉ{x₁;y₁} и bˉ{x₂;y₂}, а вектора разности bˉ-aˉ{x₂- x₁;y₂- y₁}. Скалярный квадрат вектора aˉ равен квадрату длины вектора |aˉ|²= x₁²+y₁². Скалярный квадрат вектора |bˉ|²= x₂²+y₂². Квадрат вектора АВˉ вычисляется по формуле |bˉ-aˉ|²=( x₂- x₁)²+(y₂- y₁)². Отмечается, что после преобразований данное выражение в формулу aˉ·bˉ=1/2(|aˉ|²+|bˉ|²-|аˉ-bˉ|²), в координатах также получается формула aˉ·bˉ=x₁x₂+y₁y₂.

Затем рассматриваются следствия из теоремы о координатах векторов. В первом следствии утверждается, что равенство нулю выведенной выше формулы aˉ·bˉ=x₁x₂+y₁y₂ для векторов aˉ{x₁;y₁} и bˉ{x₂;y₂} является необходимым признаком перпендикулярности этих векторов. Второе следствие дает возможность определить косинус угла между векторами aˉ и bˉ, используя формулу cosα=( x₁x₂+y₁y₂)/(√(x₁²+y₁²)·√(x₂²+y₂²). Доказывается справедливость данной формулы. Отмечается, что так как для скалярного произведения справедливо aˉ·bˉ=|aˉ|·|bˉ|cosα, из данной формулы следует cosα= aˉ·bˉ/(|aˉ|·|bˉ|). После подстановки координат векторов и их длин в данную формулу, получается cosα=( x₁x₂+y₁y₂)/(√(x₁²+y₁²)·√(x₂²+y₂²).

Видеоурок «Скалярное произведение в координатах» подробно и понятно разъясняет тему, что позволяет рекомендовать его не только для использования на традиционном уроке в школе, но и для самостоятельного изучения учеником. Также этот материал будет полезен учителю, проводящему дистанционное обучение учеников.