Урок "Способ группировки"

Преобразование многочленов, состоящих из большого числа различных мономов, является одним из ключевых действий в линейной алгебре. При помощи этой процедуры решаются многие уравнения и развязываются неравенства. Правильное оперирование с многочленами позволяет также упрощать выражения функций и решать многие смежные комплексные задачи.

Поэтому в нашей серии видеоуроков мы продолжим рассматривать важнейшие аспекты преобразования полиномов, в частности, затронем такой метод, как группировку одночленов.

Как известно, одночлены представляют собой некое элементарное выражение, которое содержит переменную (или несколько переменных), числовой коэффициент и степень переменных. При этом коэффициент может быть равен нулю (буквенные значения без цифр), а переменные – отсутствовать (остается одно лишь число). Что бы перегруппировать одночлены, необходимо тщательно изучить их основу. Когда мы в предыдущем занятии выносили множитель за скобки, основа нужна была для утверждения самого множителя. В данном же случае по основе будет проводиться группировка одночленов для дальнейших преобразований.

Существует правило, согласно которому выбирается такая основа, которая имеет максимально допустимую разрядность в том случае, если выбор её не продиктован внешними условиями комплексной задачи. Важно понять, что при применении способа группировки ищутся две или больше основ – для образования двух, или больше групп одночленов. Это коренное отличие данного метода от способа вынесения множителя за скобки. Хотя, в целом, ход дальнейших действий представляет собой вынесение основы за скобки (в которых заключена группа схожих одночленов), или схожие действия. Рассмотрим применение способа группировки на практике. Допустим, нам нужно преобразовать выражение:

2ас + 3ху + 8ау – 9хс

Стоит отметить, что способ группировки очень часто может дать несколько путей решения выражения. Особенно если многочлен содержит большое количество однотипных мономов. Группировать одночлены можно в любом порядке, соблюдая лишь правило наличия общей основы. Если сгруппировать выражение можно несколькими способами, то стоит выбирать наиболее оптимальный (чаще всего, подбирая группировку так, что бы получить необходимый для дальнейших вычислений элемент). В нашем примере, сгруппируем первый и третий члены многочлена, а также второй и четвертый. При этом первая группа имеет общую основу 2а (общая переменная а, наибольший допустимый числовой коэффициент), вторая группа – 3х. Группируем одночлены, выносим основы за скобки, произведя деление и не забывая про правила сохранения знаков:

2ас + 3ху + 8ау – 9хс = 2ас + 8ау + 3ху – 9хс = 2а(с+4у) + 3х(у – 3с)

Грубо говоря, числовой коэффициент множителя можно брать в виде абсолютно любого значения. Но чаще всего подбирают такое число, чтобы оно было кратным всем одночленам группы – это позволит избежать дробей.

Рассмотрим ещё один пример, более сложный. Предположим, нам нужно разложить на множители полином вида:

х² – 8х + 15

Напрямую в этом выражении ничего вынести за скобки нельзя. Общий множитель для одного из членов отсутствует, а разность степеней переменных не позволяет полностью убрать х из группы первых двух мономов. Можно решить это выражение методом подбора. Представим произведение многочленов и решим его методом прямого перемножения (памятуя о строгой необходимости перемножить каждый член):

(х + а)(х + с) = х² + хс + ах + ас

Сгруппируем второй и третий члены полученного выражения, используя общую переменную х:

х² + хс + ах + ас = х² + х(а + с) + ас

Как заметно в видеоуроке, выражения х² – 8х + 15 и х² + х(а + с) + ас достаточно подобны между собой. Для их сравнения необходимо, чтобы коэффициент при х представлял собой сумму двух неких чисел а и с, которые в произведении дали бы свободный член полинома. Задачу нахождения этих чисел можно решить через подбор либо же использовать систему линейных уравнений:

а + с = -8

ас = 15

Решив данную систему, получим, что уравнениям соответствует пара чисел -3 и -5. Так как они везде участвуют только в операциях сложения и произведения (где последовательность операндов роли не играет), то очередность а и с не имеет значения. Можно записать, что а=-3, с=-5. Тогда:

х² + хс + ах + ас = х² – 8х + 15

С другой стороны:

х² + хс + ах + ас = (х + а)(х + с)

В итоге получаем:

х² – 8х + 15 = (х + а)(х + с)

где а=-3, с=-5, подставляя значения переменных:

х² – 8х + 15 = (х – 5)(х – 3)

В дальнейших уроках можно будет узнать, что некоторые формулы, состоящие из стандартных переменных в многочленах, являются особой группой выражений, именуемых формулами сокращенного умножения.