Похожие материалы
Уроки математики / Видеоурок / Урок "Вынесение общего множителя за скобки"

Урок "Вынесение общего множителя за скобки"

Краткое описание документа:

В ходе различных математических операций при работе с уравнениями и равенствами часто появляется возможность значительно упростить все действия путем вынесения некоего общего множителя за пределы самого выражения. Это позволяет не только сократить большие группы многочлена, но и упростить сам процесс решения.

Урок "Вынесение общего множителя за скобки"

Вынесение множителя позволяет также избавиться от лишних действий и оптимизировать процесс вычислений. В данном видеоуроке мы подробно изучим возможности процедуры вынесения. Например, рассмотрим выражение следующего вида:

ах + сх

Урок "Вынесение общего множителя за скобки"

Нам необходимо его преобразовать так, чтобы при известных значениях всех переменных было легко вычислить значение всего полинома. Положим, а=1, с=2, х=5. Обратим внимание, что у обоих членов многочлена есть общая часть – множитель-переменная х. Она легко выносится за скобки, согласно распределительному закону умножения:

ах + сх  = х(а + с)

Для нахождения правой части данного равенства необходимо поделить каждый одночлен исходного полинома на утвержденный общий множитель (в этом случае – х), частное записать алгебраической суммой в скобках, а сам множитель поставить перед ними. Руководствуясь заданными значениями переменных, получаем:

ах + сх  = х(а + с) = 5(1 + 2) = 15

В видеоуроке сделан акцент, что вынесение множителя за скобки в представленном примере, сократило количество действий по расчету с трех до двух. В более сложных упражнениях эффект упрощения может быть ещё более значителен. А многие уравнения без применения метода вынесения множителя вообще очень сложно решить.

В общем, вынесение общего множителя за скобки в полиномах именуется процессом разложения многочлена на отдельные множители. При этом используется следующий алгоритм для обработки данных:

  1.      Выделяется рабочая группа выражения (многочлен);
  2.      Осуществляется поиск подходящего множителя, на который можно было бы поделить каждый одночлен;
  3.      Производится деление мономов на выделенный множитель, при этом результаты записываются вместо одночленов, как алгебраическая сумма;
  4.      Получившийся многочлен заключается в скобки, общий множитель ставится перед ними.

При выборе множителя часто возникают проблемы. Во-первых, он должен отвечать максимальному количеству мономов, в идеале – делить все одночлены. Во-вторых, в комплексных задачах необходимо подбирать такой множитель, чтобы он позволял провести решение всего упражнения дальше, облегчая всю процедуру. Как правило, если нет строгого условия извне (в уравнениях, к примеру), то множитель подбирается по принципам: подходящий всем мономам и являющийся наибольшим по степени и коэффициенту при переменной. Иначе говоря, множитель должен включать все переменные, наибольшую возможную степень, а также наибольший кратный числовой коэффициент. Рассмотрим пример:

2у – 8х2у + 4х2 +4х3у2

Вполне очевидно, что в этом выражении для всех одночленов наиболее приемлемым множителем будет переменная х, взятая во второй степени (максимально допустимой) и с числовым коэффициентом, равным 2, т.е. 2х2:

2у – 8х2у + 4х2 +4х3у2 = 2х2(у – 4у + 2ху2) = 2х2(2ху2 – 3у)

Урок "Вынесение общего множителя за скобки"

Производим действия в скобках, получаем итоговый ответ, представляющий собой произведение многочлена на одночлен-множитель.

Рассмотрим ещё один пример. Необходимо преобразовать выражение вида:

2х(4-у) + х(у-4)

С первого взгляда, тут трудно что-либо вынести за скобки, кроме переменной х, вынесение которой создаст двойные скобки и лишь усложнит многочлен, поэтому данный шаг нецелесообразен. Однако следуя стандартной логике и базовым правилам математического сложения, можно уверенно записать, что:

(у-4) = -(4-у)

Если минус у правого выражения внести внутрь, то все внутренние знаки сменятся на противоположные, образуя выражение, полностью идентичное левой части. Поэтому, корректно будет записать:

2х(4–у) + х(у–4) = 2х(4–у) – х(4– у)

Урок "Вынесение общего множителя за скобки"

Теперь же оба члена многочлена содержат общий множитель (4– у), который легко вынести за скобки, продолжив дальнейшие вычисления:

2х(4–у) – х(4– у) = (4– у)(2х – х) = (4– у)х = 4х – ух

Последние два этапа расчетов не относятся к общей процедуре вынесения множителя, и являются индивидуальным решением данного примера. Сам процесс вынесения дает нам произведение двух элементарных биномов.

Автор
Дата добавления 02.08.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Видеоурок
Просмотров488
Номер материала 453

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.