Урок "Степень с отрицательным целым показателем"

Прежде чем перейти к новой теме, напомним уже пройденный материал.

Степень числа а с натуральным показателем n>1 называется произведением    множителей, каждый из которых равен a:aⁿ = (a*a*…a)/n 

Рассмотрим выражение aⁿ более детально.

aⁿ = а – число, основание степени; n – число, показатель степени.

Например:

5³ = 5*5*5* = 125.

Где: 5 – основание степени, 3 – показатель, 125 – значение.

Также вы знаете о понятии нулевой степени.

Степень с нулевым показателем равна 1.  При а не равно 0, а⁰ = 1.

Например: 33⁰ = 1; 6⁰ =1.

Напомним основные свойства степени с натуральным показателем, основания которых равные.

1.       Чтобы умножить степени с равными основаниями необходимо показатели сложить, а основание оставить без изменений.

Например: 25⁵*25³=25⁸

2.       Чтобы поделить степени с равными основаниями необходимо показатели вычесть, а основание оставить без изменений.

Например: 13⁵:13³ =13².

3.       Чтобы возвести степень в степень  необходимо перемножить показатели между собой, а основание оставить без изменений.

Например: (2⁵)³ = 2¹⁵.

4.       Чтобы возвести в степень произведение необходимо возвести в степень каждый из множителей.

Например: (5*17)⁵ = 5⁵17⁵

Чтобы возвести дробь в степень необходимо возвести сначала числитель, потом знаменатель дроби в эту степень.

Например: (2/3)⁶ = 2⁶/3⁶.

Повторив пройденный материал, перейдем к теме видео урока.

Степень числа с отрицательным показателем a^-m можно подать в виде дроби a^-m = 1/a^m того же числа с показателем, которые будет равен абсолютной величине отрицательного показателя.

Степень с отрицательным показателем наполнена таким же математическим содержанием, как и обычная, т.е. при умножении степеней с одинаковой основой, они складываются:

3^-3*3³ = 3⁰

Поскольку 3⁰ =, то из данного равенства 3^-3*3³ = 1 получается 3^-3 = 1/3³.

Из этого рассуждения и следует следующее определение:

Если m – натуральное число, и a не равно 0, то a^-m = 1/a^m.

Например:5^-7 = 1/5⁷; 9^-2 = 1/9² и т.д.

Эту формулу используют не только в таком виде. Ее еще могут использовать справа налево, если есть такая необходимость. Например:

1/3 = 3^-1; 1/4 = 1/2² = 2^-2

Очень важным тождеством, которое широко используют на практике, является:

(a/b)^-n = (b/a)ⁿ и (1/a)^-n = aⁿ при а не равно 0

Рассмотрим пример:

(у²*у^-6)/(у⁷*у⁴).

Решение:

(у²*у^-6)/(у⁷*у⁴) = у^2+(-6)/у^-7+4 = у^-4/у^-3 = у^-4-(-3) = у^-1 = 1/у.

Более подробную информацию, а также примеры использования отрицательной степени вы можете посмотреть в видео уроке по теме.