Урок «Степень с рациональным показателем»

Видеоурок «Степень с рациональным показателем» содержит наглядный учебный материал для ведения урока по данной теме. В видеоуроке содержится информация о понятии степени с рациональным показателем, свойства, таких степеней, а также примеры, описывающие применение учебного материала для решения практических задач. Задача данного видеоурока – наглядно и понятно представить учебный материал, облегчить его освоение и запоминание учениками, формировать умение решать задачи с использованием изученных понятий.

Основные преимущества видеоурока – возможность производить наглядно преобразования и вычисления, возможность использования анимационных эффектов для улучшения эффективности обучения. Голосовое сопровождение помогает развивать правильную математическую речь, а также дает возможность заменить объяснение учителя, освобождая его для проведения индивидуальной работы.

Видеоурок начинается с представления темы. Связывая изучения новой темы с ранее изученным материалом, предлагается вспомнить, чтоⁿ√aиначе обозначается a^1/nдля натурального n и положительного a. Данное представление корня n-степени отображается на экране. Далее предлагается рассмотреть, что значит выражение a^m/n, в котором a – положительное число, а m/n – некоторая дробь. Дается выделенное в рамке определение степени с рациональным показателем как a^m/n=ⁿ√a^m. При этом отмечено, что n может быть натуральным числом, а m – целым.

После определения степени с рациональным показателем ее смысл раскрывается на примерах: (5/100)^3/7=⁷√(5/100)³. Также демонстрируется пример, в котором степень, представленная десятичной дробью, преобразуется в обычную дробь, чтобы быть представленной в виде корня: (1/7)^1,7=(1/7)^17/10=¹⁰√(1/7)¹⁷ и пример с отрицательным значением степени: 3^-1/8=⁸√3^-1.

Отдельно указывается особенность частного случая, когда основание степени – нуль. Отмечено, что данная степень имеет смысл только с положительным дробным показателем. В этом случае ее значение равно нулю: 0^m/n=0.

Отмечена еще одна особенность степени с рациональным показателем – то, что степень с дробным показателем не может рассматриваться с дробным показателем. Приведены примеры некорректной записи степени: (-9)^-3/7, (-3)^-1/3, 0^-1/5.

Далее в видеоуроке рассматриваются свойства степени с рациональным показателем. Замечено, что свойства степени с целым показателем будут также справедливы и для степени с рациональным показателем. Предлагается вспомнить перечень свойств, которые также справедливы в данном случае:

1.       При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: a^pa^q=a^p+q.
2.       Деление степеней с одинаковыми основаниями сводится к степени с данным основанием и разностью показателей степеней: a^p:a^q=a^p-q.
3.       Если возвести степень в некоторую степень, то в итоге получаем степень с данным основанием и произведением показателей: (a^p)^q=a^pq.

Все данные свойства справедливы для степеней с рациональными показателями p, q и положительным основанием a>0. Также верными остаются преобразования степени при раскрытии скобок:

1.       (ab)^p=a^pb^p – возведение в некоторую степень с рациональным показателем произведения двух чисел сводится к произведению чисел, каждое из которых возведено в данную степень.
2.       (a/b)^p=a^p/b^p – возведение в степень с рациональным показателем дроби сводится к дроби, числитель и знаменатель которой возведены в данную степень.

В видеоуроке рассматривается решение примеров, в которых используются рассмотренные свойства степеней с рациональным показателем. В первом примере предлагается найти значение выражения, в котором содержатся переменные х в дробной степени: (х^1/6-8)²-16х^1/6(х^-1/6-1). Несмотря на сложность выражения, с применением свойств степеней оно решается достаточно просто. Решение задания начинается с упрощения выражения, в котором используется правило возведения степени с рациональным показателем в степень, а также перемножение степеней с одинаковым основанием. После подстановки заданного значения х=8 в упрощенное выражение х^1/3+48, легко получить значение – 50.

Во втором примере требуется сократить дробь, числитель и знаменатель которой содержать степени с рациональным показателем. Используя свойства степени, выделяем из разности множитель х^1/3, который затем сокращается в числителе и знаменателе, а используя формулу разности квадратов, на множители раскладывается числитель, что дает еще сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе. Итогом таких преобразований становится короткая дробь х^1/4+3.

Видеоурок «Степень с рациональным показателем» может быть использован вместо объяснения учителем новой темы урока. Также данное пособие содержит достаточно полную информацию для самостоятельного изучения учеником. Материал может быть полезен и при дистанционном обучении.