Урок "Свойства скалярного произведения векторов"

Видеоурок «Свойства скалярного произведения векторов» представляет свойства скалярного произведения векторов. В ходе данного видеоурока представлены четыре свойства, среди которых переместительное, сочетательное и распределительное свойства скалярного произведения. Знание свойств поможет в дальнейшем решать задачи, связанные с векторами. Задача видеоурока – облегчить запоминание этих свойств, продолжать формировать умение доказывать математические утверждения.

Использование видеоурока позволяет разнообразить средства ведения урока, удерживать внимание учеников на изучаемом предмете. При помощи выделения цветом. Голосового сопровождения учебного материала объяснением, он легче усваивается и запоминается. В подаче стандартного блока подачи новой темы данный видеоурок может заменить учителя. Также данный видеоматериал может сопровождать объяснение учителя, просто послужив ему наглядным пособием. Освобождая учителя от необходимости в демонстрации при помощи специальных инструментов, видеоурок помогает повысить эффективность урока, более рационально распределить его время.

Видеоурок начинается с представления темы и перечисления свойств скалярного произведения векторов. Свойства рассматриваются применительно к некоторым произвольным векторам aˉ, bˉ, cˉ.

В первом свойстве отмечается, что скалярный квадрат вектора всегда является неотрицательным числом. Если aˉ ненулевой, то его скалярный квадрат строго положительный.

Вторым свойством скалярного произведения служит переместительный закон, который отмечает, что для любых aˉ, bˉ справедливо равенство aˉ·bˉ=bˉ·aˉ.

В качестве третьего свойства выделен распределительный закон, который выражается формулой (aˉ+bˉ)·сˉ= aˉ·сˉ+bˉ·сˉ.

Отмечается также, что для векторов aˉ, bˉ и произвольного числа k верно также сочетательное свойство, которое можно записать формулой (kaˉ)·bˉ=k(aˉ·bˉ).

Далее демонстрируемые свойства доказываются. Отмечается, что доказательство первого свойства заключается в самой формуле скалярного квадрата. Так как квадрат любого числа всегда будет положительным в случае ненулевого значения, а при равенстве вектора нулю – равно нулю.

Второе свойство доказывается при помощи определения скалярного произведения. Действительно, в правой части формулы скалярного произведения находится произведение обычных чисел, для которых действует переместительный закон.

Для доказательства третьего свойства скалярного произведения координаты векторов aˉ{x₁;y₁}, bˉ{x₂;y₂}, сˉ{x₃;y₃} подставляются в формулу произведения (aˉ+bˉ)·сˉ. После подстановки координат получается выражение (х₁+х₂)х₃+(у₁+у₂)у₃=(х₁х₃+у₁у₃)+(х₂х₃+у₂у₃), которое и соответствует сумме скалярных произведений aˉ·сˉ+bˉ·сˉ.

Для доказательства четвертого свойства отмечается, что координатами вектора aˉ{x₁;y₁}, умноженного на число k, будет kaˉ{kx₁; ky₁}. При умножении данного вектора на вектор bˉ{x₂;y₂} получаем (kaˉ)·bˉ=(kx₁)x₂+(ky₁)y₂. После преобразования получаем k(x₁x₂+y₁y₂). Данное выражение и представляет собой в координатах k(aˉ·bˉ).

Видеоурок «Свойства скалярного произведения векторов» может применяться учителем для повышения эффективности традиционного урока по данной теме. Незаменим данный материал для качественного проведения урока дистанционного обучения. Если ученику необходимо углубить понимание данной темы урока или изучить ее самостоятельно, видеоурок поможет разобраться с особенностями свойств скалярного произведения и научиться их доказывать.