Урок "Теорема, обратная теореме Пифагора"

Рассмотрение тем школьной программы с помощью видеоуроков является удобным способом изучения и усвоения материала. Видео помогает сконцентрировать внимание учащихся на основных теоретических положениях и не упускать важных деталей. При необходимости школьники всегда могут прослушать видеоурок повторно или вернуться на несколько тем назад.

Данный видеоурок для 8-го класса поможет учащимся изучить новую тему по геометрии.

В предыдущей теме мы изучили теорему Пифагора и разобрали ее доказательство.

Существует также теорема, которая известна как обратная теорема Пифагора. Рассмотрим ее подробнее.

Теорема. Треугольник является прямоугольным, если в нем выполняется равенство: значение одной стороны треугольника, возведенной в квадрат, такое же, как сумма возведенных в квадрат двух других сторон.

Доказательство. Допустим, нам дан треугольник ABC, в котором выполняется равенство AB² = CA² + CB². Необходимо доказать, что угол С равен 90 градусов. Рассмотрим треугольник A₁B₁C₁, в котором угол С₁ равен 90 градусов, сторона C₁ A₁ равна CA и сторона B₁C₁равна BС.

Применяя теорему Пифагора, запишем отношение сторон в треугольнике A₁C₁B₁: A₁B₁² = C₁A₁² + C₁B₁².  Произведя замену в выражении на равные стороны, получим A₁B₁² = CA² + CB².

Из условий теоремы мы знаем, что AB² = CA² + CB². Тогда можем записать A₁B₁² = AB², из чего следует, что A₁B₁= AB.

Мы нашли, что в треугольниках ABC и A₁B₁C₁равны три стороны: A₁C₁ = AC, B₁C₁ = BC, A₁B₁= AB. Значит, эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует, что угол С равен углу С₁ и соответственно равен 90 градусов. Мы определили, что треугольник ABC прямоугольный и его угол С равен 90 градусов. Мы доказали данную теорему.

Далее автор приводит пример. Допустим, дан произвольный треугольник. Известны размеры его сторон: 5, 4 и 3 единиц. Проверим утверждение из теоремы, обратной теореме Пифагора: 5² = 3² + 4². Утверждение верно, значит данный треугольник прямоугольный.

В следующих примерах треугольники также будут прямоугольными, если их стороны равны:

– 5, 12, 13 единиц; равенство 13² = 5² + 12² является верным;

– 8, 15, 17 единиц; равенство 17² = 8² + 15² является верным;

– 7, 24, 25 единиц; равенство 25² = 7² + 24² является верным.

Известно понятие пифагорового треугольника. Это прямоугольный треугольник, у которого значения сторон равны целым числам. Если катеты пифагорового треугольника обозначить через a и c, а гипотенузу b, то значения сторон этого треугольника можно записать с помощью следующих формул:

a = 2k x m x n

b = k x (m² – n²)

c = k x (m² + n²)

где m, n, k– любые натуральные числа, причем значение m больше значения n.

Интересный факт: треугольник со сторонами 5, 4 и 3 называют также египетским треугольником, такой треугольник был известен еще в Древнем Египте.

В данном видеоуроке мы ознакомились с теоремой, обратной теореме Пифагора. Подробно рассмотрели доказательство. Также учащиеся узнали, какие треугольники называют пифагоровыми.

Видеоматериалы, представленные автором, могут быть применены учителем при проведении урока геометрии, так как последовательно и наглядно демонстрируют все положения изучаемой темы.

Учащиеся с легкостью могут ознакомиться с темой «Теорема, обратная теореме Пифагора» самостоятельно с помощью данного видеоурока.