Урок "Теорема Пифагора"

Использование при проведении уроков по алгебре и геометрии видеоматериалов – это удобный способ представления информации. Автор предлагает изучение тем при помощи представленных видеоуроков.

В данной теме по геометрии для 8-го класса мы рассмотрим и докажем известную и очень часто применяемую теорему Пифагора. Эта теорема, по сути, отражает зависимость в прямоугольном треугольнике между сторонами – гипотенузой и катетами. При доказательстве мы будем применять свойства площадей многоугольников, поэтому перед началом изучения урока коротко их напомним.

Свойство первое утверждает, если многоугольники равны, то равны и их площади.

Свойство второе: когда многоугольник поделен на несколько многоугольников, то площадь заданного многоугольника находится как сумма составляющих его многоугольников площадей.

Свойство третье говорит о том, что площадь квадрата вычисляется как сторона, возведенная в степень 2.

Теперь мы можем перейти к изучению теоремы Пифагора.

Теорема. В прямоугольном треугольнике выполняется равенство: значение гипотенузы в квадрате такое же, как сумма возведенных в квадрат катетов.

Разберем доказательство. На рисунке изображен треугольник, имеющий прямой угол. Катеты треугольника обозначены как a и b, гипотенуза – c. Нужно доказать, что верно утверждение c² = a² + b². Используем следующий метод. На основе треугольника построим квадрат так, чтобы сторона квадрата стала равной значению (a +b). Это наглядно проиллюстрировано в уроке. Площадь такого квадрата будет равна (a + b)². Но также мы видим, что этот квадрат состоит из нескольких многоугольников, а именно из квадрата (сторона которого равна с) и четырех прямоугольных треугольников, равных между собой. Площадь квадрата со стороной с равна с².Площадь прямоугольного треугольника находится как S_тр = 0,5 x a x b. Тогда площадь квадрата со стороной (a +b)найдем как сумму площадей меньшего квадрата и площадей четырех составляющих треугольников: Sкв = 4 x 0,5 x a x b + c² = 2ab + c². Мы получили, что S = (a + b)² = 2ab + c². Упростив выражение, найдем, что с² = a² + b². Мы пришли к выражению, которое и требовалось доказать.

Далее в видеоуроке автор делает отступление и рассказывает об истории теоремы Пифагора. Это будет интересно ученикам, так как эта теорема одна из самых известных и едва ли найдется школьник, который о ней ни разу не слышал. Оказывается, теорема об отношении сторон в прямоугольном треугольнике была известна очень давно. Упоминания о теореме встречаются в вавилонских текстах за 1200лет до Пифагора. Может быть, и доказательства тогда не существовало, а отношение между катетами и гипотенузой установили на практике на основе измерений. По одной из версий Пифагор смог найти доказательство теоремы, поэтому она и получила его имя. Однако следует заметить, что позже было найдено еще много других доказательств этой теоремы, сейчас их известно более 100. Одно из доказательств теоремы Пифагора мы рассмотрели в нашей теме, еще одно изучим позже в следующих уроках.

Информация, представленная в видеоуроке, поможет учителю при подготовке теоретической части темы. Материалы будут также полезны ученикам, если они захотят изучить тему самостоятельно. Важно хорошо понять и запомнить данную тему, так как теорема Пифагора будет часто применяться на практике по геометрии при дальнейшем изучении.

Тема по теореме Пифагора занимательна и интересна, поэтому можно предложить ученикам подготовить дополнительную информацию по теме и сделать презентацию на уроке или на внеклассном занятии.