Урок "Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей"

Видеоурок о теоремах об углах между двумя параллельными прямыми и их секущей содержит материал, представляющий особенности строения теоремы, примеры формирования и доказательства обратных теорем, следствий из них. Задача данного видеоурока – углубить понятие теоремы, разложив ее на составляющие, рассмотрев понятие обратной теоремы, формировать умение строить теорему, обратную данной, следствий из теоремы, формировать умение доказывать утверждения.

Форма видеоурока позволяет удачно расставить акценты при демонстрации материала, облегчая понимание и запоминание материала. Тема данного видеоурока сложная и важная, поэтому использование наглядного пособия не только целесообразно, но и желательно. Он дает возможность повысить качество обучения. Анимированные эффекты улучшают представление учебного материала, приближают процесс обучения к традиционному, а использование видео освобождает учителя для углубления индивидуальной работы.

Видеоурок начинается с объявления его темы. В начале урока рассматривается разложение теоремы на составляющие для лучшего понимания ее строения и возможностей для дальнейшего исследования. На экране демонстрируется схема, демонстрирующая, что теорема состоит их условия и заключения. Понятие условия и заключения описывается на примере признака параллельности прямых, отметив, что часть утверждения является условием теоремы, а вывод - заключением.

Углубляя полученные знания о строении теоремы, ученикам дается понятие теоремы, обратной данной. Она образуется в результате замены – условие становится заключением, заключение - условием. Чтобы сформировать умение учеников строить теоремы, обратные данным, умение доказывать их, рассматриваются теоремы, обратные тем, которые рассмотрены в уроке 25 о признаках параллельности прямых.

На экране отображается теорема, обратная первой теореме, описывающей признак параллельный прямых. Поменяв местами условие и заключение, получаем утверждение, что если пересечены секущей какие-либо параллельные прямые, то образованные при этом накрест лежащие углы будут равными. Доказательство демонстрируется на рисунке, где изображены прямые а, b, а также секущая, проходящая через эти прямые в их точках M и N. На изображении отмечаются накрест лежащие углы ∠1 и ∠2.  Необходимо доказать их равенство. Сначала в ходе доказательства делается предположение, что данные углы не являются равными. Для этого через точку М проводится некоторая прямая Р. Строится угол `∠PMN, являющийся накрест лежащим с углом ∠2 по отношению к MN. Углы `∠PMN и ∠2 по построению равны, следовательно МР║b. Вывод - через точку проведены две прямые, параллельные b. Однако это невозможно, потому что не соответствует аксиоме параллельных прямых. Сделанное предположение оказывается ошибочным, доказывая справедливость изначального утверждения. Теорема доказана.

Далее обращается внимание учеников на способ доказательства, который был использован в ходе рассуждений. Доказательство, в котором предполагается ошибочность доказываемого утверждения, называется в геометрии доказательством от противного. Данный способ часто используется для доказательства различных геометрических утверждений. В данном случае, предположив, неравенство накрест лежащих углов, в ходе рассуждений выявилось противоречие, что отрицает справедливость такого противоречия.

Ученикам напоминается, что подобный способ уже был использован ранее в доказательствах. Примером этому служит доказательство теоремы в уроке 12 о том, что две прямые, которые перпендикулярны третьей, не пересекаются, а также доказательства следствий в уроке 28 из аксиомы параллельности прямых.

Еще одно доказываемое следствие утверждает, что прямая перпендикулярна к обеим параллельным прямым, если она перпендикулярна к одной из них. На рисунке изображаются прямые а и b и перпендикулярная им прямая с. Перпендикулярность прямой c к а означает, что образуемый с ней угол равен 90°. Параллельность а и b, пересечение их прямой с означает, что прямая с пересекает b. Угол ∠2, образованный с прямой b, является накрест лежащим к углу ∠1. А так как по условию прямые параллельны, то данные углы равны. Соответственно, величина угла ∠2 также будет равна 90°. Это означает, прямая с оказалась перпендикулярной прямой b. Рассматриваемая теорема доказана.

Следующей доказывается теорема, обратная ко второму признаку параллельных прямых. Обратная теорема утверждает, при условии параллельности двух прямых образованные соответственные углы будут равными. Доказательство начинается с построения секущей с, параллельных между собой прямых а и b. Созданные при этом углы отмечаются на рисунке. Имеется пара соответственных углов, названные ∠1 и ∠2, также отмечен угол ∠3, который накрест лежащий углу ∠1. Параллельность а и b означает равенство ∠3=∠1 как накрест лежащих. Учитывая, что ∠3, ∠2 - вертикальные, они также равны. Следствием таких равенств является утверждение, что ∠1=∠2. Рассматриваемая теорема доказана.

Последняя доказываемая на данном уроке теорема – обратная последнему признаку параллельных прямых. Ее текст гласит, что в случае прохождения через параллельные прямые некоторой секущей, сумма образованных при этом односторонних углов равна величине в 180°. Ход доказательства демонстрируется на рисунке, где изображены прямые а и b, пересекающиеся с секущей с. Необходимо доказать, что величина суммы односторонних углов будет равняться 180°, то есть ∠4+∠1 = 180°. Из параллельности прямых а и b следует равенство соответственных углов ∠1 и ∠2. Смежность углов ∠4, ∠2 означает, что в сумме они составляют 180°. При этом углы ∠1= ∠2 - значит, ∠1 в сумме с углом ∠4 будет составлять 180°. Теорема доказана.

Для более глубокого понимания, как формируются и доказываются обратные теоремы, отдельно отмечается, что если теорема доказана и верна, то это не значит, что также верна будет обратная теорема. Чтобы это понять, приводится простой пример. Есть теорема о том, что все вертикальные углы равны. Обратная теорема звучит так, что все равные углы вертикальны, что не соответствует действительности. Ведь можно построить два равных угла, которые не будут вертикальны. Это можно увидеть на продемонстрированном рисунке.

Видеоурок «Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей» является наглядным пособием, которое может быть использовано учителем на уроке геометрии, а также успешно сформировать представление об обратных теоремах и следствиях, а также их доказательстве при самостоятельном изучении материала, быть полезным в дистанционном обучении.