Урок "Вычисления. Доказательство тождеств"

В прошлых видеоуроках мы рассмотрели основные приемы преобразования многочленов, которые базируются на вынесении общего множителя за скобки. В более сложном варианте необходима группировка одночленов, имеющих схожее основание для создания нескольких многочленов, связанных операцией произведения. Оба способа имеют множество вариаций в исполнении, которые особенно хорошо проявляются в сложных многочленах. Это позволяет использовать процедуру преобразования полиномов для решения многих задач смежных тем.
В новом видео мы рассмотрим возможные расчеты при решении нетривиальных задач. В этом будем использовать навыки преобразования полиномов по типу вынесения множителя.

Рассмотрим следующий пример. Нам нужно найти сумму выражения:

2 + 2² + 2³ + …+2⁹

Для того чтобы преобразовать данный многочлен, вынесем двойку за скобки:

2 + 2² + 2³ + …+2⁹ = 2(1 + 2 +…2⁸)

Теперь необходимо задать переменную х, которая будет равна выражению в скобках, не включающих единицу. Используем переменную для обеих частей равенства:

2 + 2² + 2³ + …+2⁹ = 2(1 + 2 +…2⁸)

х = (2 +…2⁸)

х + 2⁹ = 2(1 + х)

Таким образом, мы получили уравнение с одной неизвестной, которое представляет собой равенство двух многочленов. Решаем уравнение, раскрывая скобки умножением и соблюдая правила переноса знаков:

х + 2⁹ = 2(1 + х)

х + 2⁹ = 2 + 2х

2⁹ – 2 = 2х – х

х = 2⁹ – 2

Легко понять, что искомая сумма представляет собой х + 2⁹ поэтому можно записать следующим образом:

2 + 2² + 2³ + …+2⁹ = х + 2⁹ = 2⁹ – 2 + 2⁹ = 2(2⁹) -2 = 2(512) – 2 = 1022

Итак, вместо прямого возведения каждой двойки в соответствующую степень (этот процесс растянется на восемь действий) с последующим суммированием, мы значительно упростили задачу, преобразовав исходный многочлен в уравнение (при помощи метода введения мнимой неизвестной) и развязав его.

Рассмотрим второй пример. Найти значение выражения:

38,4² – 61,6*29,5 + 61,6*38,4 – 29,5*38,4

Выражение в примере перегружено дробными числами, а также имеет достаточно много одночленов. Но при этом легко подметить наличие некоторых общих оснований, по которым можно сгруппировать многочлен. Возьмем за основу первой группы – 38,4 а за основу второй – 61,6. Группируем в первую часть первый и четвертый одночлен, во вторую часть – второй и третий одночлен:

38,4² – 61,6*29,5 + 61,6*38,4 – 29,5*38,4 =

= 38,4(38,4– 29,5) + 61,6(38,4 – 29,5)

Как мы видим, после группировки у нас получились две одинаковые скобки в общем выражении. Выносим выражение в скобках, как общий множитель, за пределы выражения, производим вычисления внутри скобок, получаем ответ:

38,4(38,4– 29,5) + 61,6(38,4 – 29,5) =

= (38,4– 29,5)(61,6 + 38,4) = 8,9 * 100 = 890

Стоит отметить, что буквенные варианты подобных произведений многочленов – например, (х – у)(х + у) – являются стандартами во многих вычислениях. Расчеты этих выражений, выполненные по правилам перекрестного умножения, именуются формулами сокращенного умножения; в дальнейших видеоуроках мы изучим эту тему более подробно.

Рассмотрим ещё один пример. Нам необходимо доказать, что выражение вида 81⁴ – 9⁷ + 3¹² кратно 73. В этом выражении нет явных общих множителей, но есть способ найти подходящую основу. Все числовые коэффициенты в многочлене кратны трем. Преобразуем числа, как степени тройки:

81⁴ – 9⁷ + 3¹² = (3⁴)⁴ – (3²)⁷ + (3)¹²

Согласно правилу степеней, центральный элемент под скобками повышает свою степень путем произведения со значением, стоящим за скобками, так что:

(3⁴)⁴ – (3²)⁷ + (3)¹² = 3¹⁶ – 3¹⁴ + 3¹²

Получаем новый многочлен, который можно преобразовать на основании 3¹². Решая выражение в скобках, имеющее достаточно малые степени, получим:

3¹⁶ – 3¹⁴ + 3¹² = 3¹²(3⁴ – 3² + 1) = 3¹²(81 – 9 + 1) = 3¹²(73)

Итоговое выражение состоит из двух множителей, один из которых равен 73, а второй является целым натуральным числом (так как основание степенного выражения равно целому значению). Поэтому, все выражение кратно числу 73.