Уроки математики / Видеоурок / Урок "Вычисления. Доказательство тождеств"

Урок "Вычисления. Доказательство тождеств"

Краткое описание документа:

В прошлых видеоуроках мы рассмотрели основные приемы преобразования многочленов, которые базируются на вынесении общего множителя за скобки. В более сложном варианте необходима группировка одночленов, имеющих схожее основание для создания нескольких многочленов, связанных операцией произведения. Оба способа имеют множество вариаций в исполнении, которые особенно хорошо проявляются в сложных многочленах. Это позволяет использовать процедуру преобразования полиномов для решения многих задач смежных тем.
В новом видео мы рассмотрим возможные расчеты при решении нетривиальных задач. В этом будем использовать навыки преобразования полиномов по типу вынесения множителя.

Урок "Вычисления. Доказательство тождеств"

Рассмотрим следующий пример. Нам нужно найти сумму выражения:

2 + 22 + 23 + …+29

Для того чтобы преобразовать данный многочлен, вынесем двойку за скобки:

2 + 22 + 23 + …+29 = 2(1 + 2 +…28)

Теперь необходимо задать переменную х, которая будет равна выражению в скобках, не включающих единицу. Используем переменную для обеих частей равенства:

2 + 22 + 23 + …+29 = 2(1 + 2 +…28)

х = (2 +…28)

х + 29 = 2(1 + х)

Урок "Вычисления. Доказательство тождеств"

Таким образом, мы получили уравнение с одной неизвестной, которое представляет собой равенство двух многочленов. Решаем уравнение, раскрывая скобки умножением и соблюдая правила переноса знаков:

х + 29 = 2(1 + х)

х + 29 = 2 + 2х

29 – 2 = 2х – х

х = 29 – 2

Легко понять, что искомая сумма представляет собой х + 29 поэтому можно записать следующим образом:

2 + 22 + 23 + …+29 = х + 29 = 29 – 2 + 29 = 2(29) -2 = 2(512) – 2 = 1022

 Урок "Вычисления. Доказательство тождеств"

Итак, вместо прямого возведения каждой двойки в соответствующую степень (этот процесс растянется на восемь действий) с последующим суммированием, мы значительно упростили задачу, преобразовав исходный многочлен в уравнение (при помощи метода введения мнимой неизвестной) и развязав его.

Рассмотрим второй пример. Найти значение выражения:

38,42 – 61,6*29,5 + 61,6*38,4 – 29,5*38,4

Выражение в примере перегружено дробными числами, а также имеет достаточно много одночленов. Но при этом легко подметить наличие некоторых общих оснований, по которым можно сгруппировать многочлен. Возьмем за основу первой группы – 38,4 а за основу второй – 61,6. Группируем в первую часть первый и четвертый одночлен, во вторую часть – второй и третий одночлен:

38,42 – 61,6*29,5 + 61,6*38,4 – 29,5*38,4 =

= 38,4(38,4– 29,5) + 61,6(38,4 – 29,5)

Как мы видим, после группировки у нас получились две одинаковые скобки в общем выражении. Выносим выражение в скобках, как общий множитель, за пределы выражения, производим вычисления внутри скобок, получаем ответ:

38,4(38,4– 29,5) + 61,6(38,4 – 29,5) =

= (38,4– 29,5)(61,6 + 38,4) = 8,9 * 100 = 890

Стоит отметить, что буквенные варианты подобных произведений многочленов – например, (х – у)(х + у) – являются стандартами во многих вычислениях. Расчеты этих выражений, выполненные по правилам перекрестного умножения, именуются формулами сокращенного умножения; в дальнейших видеоуроках мы изучим эту тему более подробно.

Рассмотрим ещё один пример. Нам необходимо доказать, что выражение вида 814 – 97 + 312 кратно 73. В этом выражении нет явных общих множителей, но есть способ найти подходящую основу. Все числовые коэффициенты в многочлене кратны трем. Преобразуем числа, как степени тройки:

814 – 97 + 312 = (34)4 – (32)7 + (3)12

Урок "Вычисления. Доказательство тождеств"

Согласно правилу степеней, центральный элемент под скобками повышает свою степень путем произведения со значением, стоящим за скобками, так что:

(34)4 – (32)7 + (3)12 = 316 – 314 + 312

Получаем новый многочлен, который можно преобразовать на основании 312. Решая выражение в скобках, имеющее достаточно малые степени, получим:

316 – 314 + 312 = 312(34 – 32 + 1) = 312(81 – 9 + 1) = 312(73)

Итоговое выражение состоит из двух множителей, один из которых равен 73, а второй является целым натуральным числом (так как основание степенного выражения равно целому значению). Поэтому, все выражение кратно числу 73.

Автор
Дата добавления 02.08.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Видеоурок
Просмотров1409
Номер материала 455
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.