Презентация "Объем призмы"

Продолжим изучение объемов геометрических тел и рассмотрим в этой презентации тему вычисления объема призмы.

Для начала вспомним определение. Призма –  это многогранник, который состоит из n-параллелограммов и двух равных n-угольников, находящихся в параллельных плоскостях. Изображение призмы представлено на рисунке. На следующем слайде показаны рисунки прямой и правильной призм. В прямой призме основания перпендикулярны боковым граням; в основании правильной призмы лежит правильный многоугольник. Боковые грани призмы являются параллелограммами (слайд 4).

Рассмотрим теорему: объем прямой призмы вычисляется умножением площади основания на ее высоту V = S_оснxh. Разберем доказательство теоремы.

Дана прямая призма, обозначим ее как BCDB₁C₁D₁. Проведем AC перпендикулярно BD, тогда плоскость CAA₁ будет перпендикулярна плоскости BCD. Обозначим объем призмы BCAB₁C₁A₁ как V₁. Объем V₁ = S_BCAxh. А объем призмы ACDA₁C₁D₁ обозначим как V₂.Запишем, что V₂ = S_ACDxh. Тогда объем исходной призмы будет равен V = V₁ + V₂ = S_BCAxh + S_ACDxh = h (S_BCA + S_ACD). Полученное выражение в скобках S_BCA + S_ACD – это площадь основания исходной полной призмы. Запишем, что площадь основания S_осн = S_BCA + S_ACD, тогда получим V = S_оснxh, что и требовалось доказать. В этом варианте доказательства мы рассмотрели прямую треугольную призму. При рассмотрении произвольной прямой призмы, в которой количество углов будет более трех, (например, пять) прибегнем к следующим действиям. Проведем через одно из боковых ребер диагональные плоскости (см. рисунок), исходная призма в таком случае разделится на три треугольные призмы. Объем исходной призмы будет равен сумме объемов этих треугольных призм V = V₁ + V₂ + V₃. Объем первой треугольной призмы равен V₁ = S₁xh,объем второй V₂ = S₂xh, объем третьей V₃ = S₃xh.

Следовательно, V = S₁xh + S₂xh + S₃xh= h (S₁+ S₂+ S₃). Значение S₁+ S₂+ S₃  это площадь основания исходной призмы. По-другому можно записать, что V = h (S₁+ S₂+ S₃) =  hxS_осн.

Мы рассмотрели доказательство теоремы для прямой призмы, в основании которой лежит пятиугольник. Но теорема будет справедлива для любой прямой призмы. В таком случае обозначим объемы треугольных призм как V₁, V₂, V₃ … V_n-2, а их площади оснований как S₁, S₂, S₃ … S_n-2. Тогда будет справедливо выражение V = h (S₁ + S₂ + S₃ + … + S_n-2).

 Перейдем к решению задач. Задача 1. Даны четыре правильных n-угольных призмы, где в каждой призме известна длина ребра а. Основаниями призм являются многоугольники с количеством улов:

а) n = 3

б) n = 4

в) n = 6

г) n = 8

Нужно найти объем каждой призмы.Т.к. во всех вариантах длина ребра нам известна, то для решения применим формулу V = S_оснxh. В варианте а, в и г для вычисления площади основания S_осн применим уже известные нам формулы нахождения площади многогранников. В варианте б призма является кубом, поэтому его объем можно найти по формуле V = a³.

Задача 2. Дана ABCA₁B₁C₁ – правильная треугольная призма, а – сторона призмы, ABC₁ – сечение,  угол между плоскостями ABC₁ и ABC равен 60 градусов. Необходимо найти объем призмы. Для решения проведем CKперпендикулярно AB. Отрезок С₁Kбудет принадлежать плоскости ABC₁,

CKперпендикулярен AB, следовательно, мы можем найти значение угла  C₁KC. Далее найдем значение CK с помощью функции синуса. Тогда в треугольнике мы сможем вычислить сторону C₁С. Таким образом, мы получили все данные для нахождения площади основания треугольника ABC. Зная площадь основания и высоту C₁С, вычислим объем призмы.