Уроки математики / Видеоурок / Урок "График функции"

Урок "График функции"

Краткое описание документа:

Все множество чисел, как положительных, так и отрицательных, можно представить не только в виде числового линейного набора, но и при помощи Декартовой системы координат. Более того – многие частные множества или рабочие участки множеств проще представить именно в графическом виде.

Напомним, что Декартова система представлена двумя осями: абсцисс и ординат. Ось абсцисс проходит горизонтально, отображая первое множество всех действительных реальных чисел. Во многих случаях для графического представления неравенств, к примеру, достаточно одной оси абсцисс. Но так как функция представляет собой связанную пару множеств, то для её графика необходимо ввести ось второго множества – ординат. Вторая ось проходит перпендикулярно первой, образуя общую координатную сетку. Ноль является общим универсальным элементом, объединяя обе оси.

Урок "График функции"

Ось абсцисс обозначают как х и связывают множество значений на ней со множеством аргументов функции. Ось ординат обозначается как у, и множество её значений связано со множеством значений самой функции. Можно ещё выразить эти же понятия так: на оси абсцисс лежит область определения функции, а на оси ординат – область значений функции.

После теоретической базы для графического построения математической зависимости можно построить график. Для этого, в общем случае, используют следующий алгоритм. Для любой функции у = f(х):

  1.         Определяем область, в которой нужно отобразить функцию графически. Большинство функций имеют бесконечные (непрерывные) области значений и аргументов, поэтому необходимо выбрать интересующий участок в виде алгебраического интервала аргументов: например, все значения х от –а до +b;
  2.         Создаем таблицу соответствий. Для этого выписываем все аргументы, входящие в интервал (как правило, используются все целые числа), и вычисляем по функции f значения переменной у для каждого х, записывая все данные в таблицу;
  3.         На основании таблицы отмечаем точки на декартовой системе координат, используя ось абсцисс для аргументов и ось ординат для значений функции;
  4.         Соединяем точки в общую графическую кривую – график готов.


Предположим, нам необходимо построить график функции:

у = х2

Урок "График функции"

Определим график нашей функции на интервале от -2 до 2:

Х = -2 (больше или равно) х (больше или равно) 2

Создаем таблицу соответствий, рассчитывая значения у путем возведения в квадрат аргументов х, взятых в заданном интервале:

При х = -2 : у = (-2)2 = 4

При х = -1 : у = (-1)2 = 1

При х = 0 : у = (0)2 = 0

При х = 1 : у = (1)2 = 1

При х = 2 : у = (2)2 = 4

На основании таблицы строим график. Как можно наблюдать в нашем видео, график этой функции представляет собой параболу с вершиной в точке (0, 0).

Графики функций широко распространены – и в научно-технических отраслях, и в повседневной жизни. Это обусловлено тем, что математические зависимости – важнейший фундамент для множества различных формул, при помощи которых описываются тысячи процессов. Например, зависимость сокращения сердечной мышцы от времени передается специфической формулой и соответствующим графиком – кардиограммой. Колебания поверхности земли, зависимые от времени, передаются графически сейсмограммой.

Урок "График функции"

Многие графические представления функций служат для быстрого нахождения значения функции по заданному аргументу. В тривиальной практике довольно часто случается и обратное: по заданному значению ищется аргумент функции. Следует понимать, что любая функция – это равенство, и она действительна в любом направлении (в большинстве случаев).

Например, на видео представлен график зависимости температуры воздуха от времени суток. При этом значения времени отложены на оси абсцисс, формируя множество аргументов от 1 до 24 (график рассчитан на интервал в одни сутки). Множество значений температуры обозначены на оси у – причем как в положительной, так и в отрицательной части. Если нам нужно узнать по графику, какая температура была в 8 часов утра, то можно провести перпендикуляр от оси х, в точке (8, у), и посмотреть, где он пересекает график. Легко заметить, что точка А на графике имеет координаты (8, 1) и соответствует такому выражению: при аргументе, равном 8, функция приобретает значение, равное единице. Иначе говоря, в 8 часов утра температура воздуха была +1.

Урок "График функции"

Многие функции, используемые на практике (например, те же сейсмограммы), являются довольно сложными в аналитическом линейном виде. И графическое представление, в таком случае, не только более наглядное, но и гораздо более практичное. С технической точки зрения, большинство практических зависимостей проще отобразить именно графиком, чем проводить сложные математические расчеты по выводу линейной формулы.

Автор
Дата добавления 02.08.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Видеоурок
Просмотров1895
Номер материала 462
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.