Урок «Объем конуса»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Мы продолжаем изучение раздела стереометрии «Тела вращения».

К телам вращения относят: цилиндры, конусы, шары.

Вспомним, определения.

Высота – это расстояние от вершины фигуры или тела до основания фигуры (тела). Иначе – отрезок, соединяющий  вершину и основание фигуры и перпендикулярный ему.

Вспомним, чтобы  найти площадь круга нужно пи умножить на квадрат радиуса  .

Площадь круга равна  .

Вспомним, как  найти площадь круга, зная диаметр? Так как

подставим  в формулу:

Конус тоже является телом вращения.

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основа¬ния.

Познакомимся с формулой нахождения объема конуса.

Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Докажем данную теорему.

Дано: конус, S — площадь его основания,

h — высота конуса

Доказать: V=

Доказательство: Рассмотрим конус объемом V, радиусом основания R, высотой h и вершиной в точке O.

Введем ось Оx через ОМ — ось конуса. Произвольное сечение конуса плоскостью  , перпендикулярной к оси Ох, является кругом с центром в точке

М1 – точке пересечения этой плоскости с осью Ох. Обозначим радиус этого круга через R1, а площадь сечения через S(х), где х — абсцисса точки М1. 

Из подобия прямоугольных треугольников ОМ1A1 и ОМА (ے ОМ1A1 = ے ОМА — прямые, ےМОА-общий, значит, треугольники подобны по двум углам) следует, что    

Из рисунка видно что ОМ1=х, OM=h

или   откуда по свойству пропорции находим   R1 =  .

Поскольку сечением является круг, то S(х)=πR12 , подставим вместо R1  предыдущее выражение,  площадь сечения равна отношению произведения пи эр квадрата  на квадрат х к квадрату высоты:

Применим основную формулу

вычисления объёмов тел, при а=0, b=h, получим выражение (1)

Так как основание конуса – круг, то площадь S основания конуса  будет равна пи эр квадрат

в формуле вычисления объема тела заменим значение пи эр квадрат на площадь основания и получим, что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

Теорема доказана.

Следствие из теоремы (формула объема усеченного конуса)

Объем V  усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований S и S1,  вычисляется по формуле

Вэ равно одна третья аш умноженное на сумму площадей оснований и корня квадратного из произведения площадей основания.

Решение задач

Задача 1.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращается около гипотенузы. Определите объем полученного тела.

Решение:

При вращении треугольника вокруг гипотенузы получаем конус. При решении данной задачи важно понимать, что возможно два случая. В каждом из них мы применяем формулу для нахождения объема конуса: объем конуса равен одной трети произведения основания на высоту

В первом случае   рисунок будет выглядеть следующим образом: дан конус. Пусть радиус r = 4, высота h = 3

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

Площадь основания равна произведению π на квадрат радиуса

Тогда объем конуса равен одной трети произведения π на квадрат радиуса и на высоту.

V=  πR2h

Подставим в формулу значение, получается, объем конуса равен 16π.

Во втором случае вот так: дан конус. Пусть радиус r = 3, высота h = 4

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

Площадь основания равна произведению π на квадрат радиуса:

Sосн=πR2

Тогда объем конуса равен одной трети произведения π на квадрат радиуса и на высоту:

V=  πR2h

Подставим в формулу значение, получается, объем конуса равен 12π.

Ответ: Объём конуса V равен 16 π или 12 π

Задача 2. Дан прямой круговой конус с радиусом 6 см,  угол ВСО = 45 .

Найдите объем конуса.

Решение: К данной задаче дается готовый чертеж. 

Запишем  формулу для нахождения объема конуса:

Выразим её через радиус основания R:

Находим h =BO по построению,  – прямоугольный, т.к. угол ВОС=90 (сумма углов треугольника), углы при основании равны, значит треугольник ΔBOC равнобедренный и BO=OC=6 см.