Урок «Объем прямоугольного параллелепипеда»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

С пятого класса нам известна формула нахождения объема прямоугольного параллелепипеда. Сегодня мы вспомним эту формулу и докажем теорему «Объем прямоугольного параллелепипеда»

Докажем теорему: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

V=abc

Дано: параллелепипед

а, b, c — его измерения.

V – объем параллелепипеда.

Доказать: V = abc.

Доказательство:

1.            Пусть а, b, c – конечные десятичные дроби, где число знаков после запятой не больше n (n > 1).

Тогда Числа а . 10n , b . 10n, c . 10n – целые.

Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные отрезки длиной  и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные  ребрам.

Параллелепипед разобьется на abc•103n равных кубиков с ребром   . Найдем объем каждого маленького кубика  будет равен   равно единица, деленная на десять в n-ой степени, возведенная в куб. Возведя числитель и знаменатель в куб, получаем (единица в кубе равна единице, а 10 в n-ой степени в кубе равно 10 в степени 3n) частное единицы и 10 в степени 3n.

Т.к. объем каждого такого кубика равен   ,  а количество этих кубиков аbс умноженное на   , то объем прямоугольного параллелепипеда  находим умножением  количества кубиков на объем маленького кубика    Тогда получаем выражение: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению аbс, умноженное на 10 в степени 3n  частное единицы и 10 в степени 3n.

Сократим на 10 в степени 3n, получим, что объем прямоугольного параллелепипеда равен abc или произведению трех его измерений.

Итак, V = abc.

2.Докажем, если хотя бы одно из измерений a, b, c – бесконечная десятичная дробь, то объем параллелепипеда также равен произведению трех его измерений.

 Пусть аn, bn, cn – конечные десятичные дроби, полученные из чисел a, b, c отбрасыванием в каждом из них всех цифр после запятой, начиная с  (n + 1). Тогда а больше или равно  а с индексом и меньше или равно  а с индексом n штрих

 an < a < an',

где а энное штрих равно сумме  а энное и единицы, деленной на десять в n-ой степени   = 

для b и c, запишем аналогичные неравенства и запишем их друг под другом

an < a < an'

bn < b < bn'

cn < c < cn',

Перемножим эти три неравенства, мы получим:  произведение abc больше или равно произведению а энного на b энное и на c энное и меньше или равно  а энному штрих на b энное штрих и на c энное штрих:

anbncn abc < an'bn'cn'.                         (1)

По доказанному в п. 1., левая часть – объем параллелепипеда со сторонами anbncn  , то есть Vn, а правая — объем параллелепипеда со сторонами an'bn'cn', то есть Vn'.

Т.к. параллелепипед Р, то есть параллелепипед с измерениями a, b, c содержит в себе параллелепипед Рn, то есть параллелепипед со сторонами an, bn, cn, а сам содержится в параллелепипеде Pn', то есть в параллелепипеде со сторонами an', bn', cn' то объем V параллелепипеда Р заключен между Vn = anbncn   и Vn '= an'bn'cn',

т.е. anbncn < V < an'bn'cn'.                                   (2)

При неограниченном увеличении n число частное единицы и 10 в степени 3n   будет становиться сколь угодно малым, и потому числа anbncn и an'bn'cn' будут сколь угодно мало отличаться друг от друга. Следовательно, число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит, они равны:

V = abc. Теорема доказана.

Следствие 1. Объем прямоугольного  параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник. Пусть длина прямоугольника равна а и ширина равна b, высоту обозначим h=c. Тогда  площадь прямоугольника ищем по формуле  . Подставим в формулу для нахождения объема V = abc вместо произведения  пишем  . Получаем  формулу

V =   h

Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

 Дана прямоугольная призма  , угол А в основании является прямым. Достроим прямоугольную призму до прямоугольного параллелепипеда (смотрите чертеж). Прямоугольный параллелепипед состоит из двух прямоугольных призм, которые равны, так как имеют  равные основания и высоты. Соответственно, площадь прямоугольника равна двум площадям прямоугольных треугольников АВС   Следовательно, объем прямоугольной призмы равен половине объема прямоугольного параллелепипеда (при умножении  ) или произведению основания прямоугольного треугольника на высоту.

Задача 1.Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

Объем прямоугольного  параллелепипеда ищем по формуле:   

V=abc

Данная фигура состоит из двух прямоугольных параллелепипедов.

Пусть   — это объем полного  параллелепипеда с измерениями 4, 3, 3.  Тогда   это объем малого «вырезанного» параллелепипеда с измерениями 3, 1, 1.

Чтобы найти объем многогранника, необходимо найти  разность объемов V1 и V2

Находим объем V1 как произведение его измерений обозначим их а1, b1, c1, получаем   объем его равен  

Для малого «вырезанного» параллелепипеда объем V2 равен произведению его измерений, их обозначим как а2, b2, c2 , тогда получим  

Теперь найдем объем многогранника V как разность V1 и V2, получим V=

V=36-3=33

Ответ: V многогранника равен 33