Урок «Объем шара»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

В этом уроке мы выведем  формулу для вычисления объема шара, применим ее при решении задач.

Теорема.

Объем шара радиуса R равен  

Итак, нам дан шар радиуса R. Нужно доказать формулу объема шара – объем шара радиуса R равен 

Рассмотрим доказательство.

Для вычисления объема шара применим  уже известную нам интегральную формулу:

 , где S(x) – площадь сечения, перпендикулярного оси Ox и проходящего через точку с абсциссой x.

1.Введем координатную ось OX, проходящую через центр шара.

2.Проведем сечение, проходящее через точку P перпендикулярно оси Ox.

3.Найдем зависимость площади сечения S от значения x.

Сечением будет круг, с центром в точке P.

Обозначим его радиус через r, а площадь через S(x).

Рассмотрим прямоугольный треугольник OPQ.

Точка P в нашей системе координат имеет абсциссу x, поэтому OP = x;

PQ – это радиус сечения r, OQ – радиусом шара R.

Найдем радиус сечения r:

r малое = PQ = корню квадратному из   и равен корню квадратному из 

Так как  .

4.Осталось вычислить определенный интеграл.

Объем шара = интегралу от –R до  R умножить на разность  dx

Этот интеграл разбивается на разность двух интегралов   интеграл от  –R до  R dx минус  интеграл от –R до  R x2dx.

Выполнив несложные вычисления, получим формулу объема шара:

 Теорема доказана.

Переходим к рассмотрению задач.

Задача 1.

Пусть V – объем шара радиуса R, а S – площадь его поверхности, найдите R и V, если S = 64 см2.

Дано:

Шар радиуса R.

Площадь поверхности шара S равна 64 квадратных сантиметров.

Найти: радиус  и объем шара.

Решение.

1.Для вычисления радиуса воспользуемся уже известной нам формулой площади поверхности сферы:

Выразим из этой формулы радиус.

Радиус будет равен корню квадратному из дроби, в числителе которой S, в знаменателе 4.

Подставив в полученную формулу известное по условию задачи значение площади, S=64, найдем радиус.

Радиус будет равен корню квадратному из дроби, в числителе которой 64, в знаменателе 4, и равен 4 см.

2.Теперь, зная радиус сферы, мы можем вычислить ее объем.

Объем равен  , и равен 4, умноженное на 4 в кубе, деленное на три, умноженное на ,  и равен 256 третьих  кубических сантиметров.

Ответ: Радиус шара равен 4 сантиметра, Объём шара равен 256 третьих  кубических сантиметров.

Задача 2. Дан шар. По одну сторону от центра проведены два параллельных сечения, радиусы которых равны 9 и 12. Найдите объем шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 3.

Дано:

Шар

r1,r2 – радиусы сечений

r1 = 9 см

r2 = 12 см

O1O2 – расстояние между сечениями

O1O2 = 3 см

Найти: 

Рассмотрим решение.

Формула для нахождения объема шара:

 1.Найдем радиус шара R.

На чертеже мы видим два параллельных сечения (два круга), с центами в точках  O1 и O2, радиусы которых обозначены через r1 и r2.

Проведем ось Ox через центр шара, перпендикулярно плоскостям сечений, она пройдет  через  точки O1 , O2.

(перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, проходит через центр круга, лежащего в сечении).

Рассмотрим треугольники:    и  .

Так как ось Ox проведена  перпендикулярно плоскостям сечений, то эти треугольники прямоугольные.

Отрезок  .

Из   по теореме Пифагора  находим:

Так как OM = ON = R, то можно составить уравнение: