Урок «Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

На  уроке мы рассмотрим части шара: шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор

Определение. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Секущая плоскость разбивает шар на два шаровых сегмента.

Круг, получающийся в сечении, называется основанием  каждого из этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегмента.

На экране высоты сегментов обозначены 

Теорема. Объем шарового сегмента равен

где R – радиус шара;

h – высота сегмента.

Доказательство.

Применим  уже известную нам интегральную формулу для вычисления объемов тел.

Проведем ось Ox перпендикулярно к плоскости основания.

Тогда произвольное сечение,  проведенное перпендикулярно к оси Ox, будет кругом, а его площадь S выражается формулой:

 , при  R- h<x<R.

Эту формулу мы получили при выводе формулы объема шара.

Вычислив соответствующий определенный интеграл, получаем:

Определение. Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными сечениями.

Расстояние h между сечениями называется высотой слоя, а сами сечения – основаниями  слоя.

Объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов.

Например, объем шарового слоя, изображенного на экране, равен разности объемов шаровых сегментов  с высотами AC и BC.

Определение. Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом меньшим 900, вокруг прямой, содержащей  один из ограничивающих сектор радиусов.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса.

Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объем V шарового сектора вычисляется по формуле:

Переходим к решению задач.

Задача 1

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

Дано:

Шаровой слой.

R – радиус шара

D –диаметр, точки C, D делят диаметр на три равные части:

AC = CD = DC

Нужно найти: 

Решение:

Объем шарового слоя можно найти как разность  объемов двух шаровых сегментов,  с высотами AD и AC.

Обозначим  высоты сегментов  через 

На чертеже отрезок AB – диаметр шара и он равен двум радиусам, высота первого сегмента  h1 — отрезок AD, высота второго h2 — отрезок AC.

Так как по условию задачи, точки C и D делят диаметр шара AB на три равные части (AC = СD = DB), то

Общая формула для нахождения объема шарового сегмента:

Найдем объем большего сегмента:

Найдем объем меньшего сегмента:

Теперь мы можем вычислить объем шарового слоя, вычислив их разность.