Урок «Решение задач на построение сечений»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Подумайте, какой школьный предмет позволяют  научиться правильно выполнять и оформлять чертежи, познакомится с различными графи¬ческими способами передачи сведений об объектах предметного мира.

Правильно! Это черчение.

Для изготовления  деталей на заводе используются точные чертежи этих деталей в разрезе.

Разрезы используются для показа внутренней формы изделия.

Разрезом называется изображение, полученное при мысленном рассечении детали одной или несколькими секущими плоскостями. В разрезах показывается то, что получается в секущей плоскости.

При решении  геометрических задач связанных с тетраэдром и параллелепипедом тоже   иногда необходимо построить разрез фигуры.  Только полученное изображение в геометрии называется сечением.

Давайте разберёмся, что называется сечением тетраэдра и параллелепипеда.

Секущая плоскость α пересекает грани тетраэдра по отрезкам АЕ, ЕС, АС. Треугольник АЕС, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра.

Тетраэдр имеет четыре грани, значит его сечениями могут быть только треугольники  и четырехугольник.

При пересечении параллелепипеда секущая плоскость также оставляет следы на его боковых гранях в виде отрезков. Отрезки образуют многоугольник, который называется сечением параллелепипеда.

Так как у параллелепипеда  шесть граней, то в сечении может получиться фигура  треугольник,

на рисунке вы это видите. Четырехугольник

Пятиугольник и шестиугольник .

При построении сечений очень легко нарушить геометрические факты, теоремы. Например, данное сечение параллелепипеда плоскостью содержит ошибку.

Если плоскость  пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Значит, отрезок АВ и отрезок RP на чертеже должны быть изображены параллельно. А мы наблюдаем, что это не так . Но и отрезки AR и  BP тоже не параллельны, хотя лежат в параллельных плоскостях. Значит плоскость α, должна пересекать грани АА1D1D и BB1C1C по параллельным прямым.

Исправим ошибки.

Или на данном чертеже прямая LM пересекает ребро ВC в точке N. Но это невозможно. Прямая LM принадлежит плоскости АА1D1D, а прямая ВС не лежит в данной плоскости, значит они не могут пересекаться, они скрещивающиеся прямые.  Так прямая LM не может пересекать DC, ВВ1 , а вот c прямой  AD они пересекаются.

Исправим  ошибку на чертеже.

Рассмотрим примеры построения различных сечений.

Дан тетраэдр АВСD . На его рёбрах отмечены точки K,L,M. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K,L,M.

Изобразим тетраэдр и данные точки.

При построении сечений нужно помнить один факт, что если две плоскости имеют общие точки, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Так  у нас секущая плоскость проходит чрез точки M,L, а они лежат в плоскости CDB, значит ML-линия пересечения плоскостей.

Аналогично прямая KL является линией пересечения секущей плоскости и грани ADB

Для того чтобы построить линию пересечения с гранью АВС нужны две точки. Точка М уже у нас есть.

Для построения второй точки. Продлим до пересечения прямые KL и АВ. Отметим  их общую точку S. Точка S принадлежит секущей плоскости, так как ей принадлежит прямая KL и принадлежит грани АВС, так как ей принадлежит прямая АВ. Значит секущая плоскость пересекает плоскость АВС по прямой MS.

Построим эту прямую. Отметим точку  P- точку пересечения прямой с ребром АС. Отрезок PM- след от сечения грани плоскостью α.

Мы получили в результате две точки K и Р  В грани АDC. Отрезок КР есть линия пересечения секущей плоскости и грани. Проведем этот отрезок.

Четырехугольник  KLMP-искомое сечение.

Рассмотрим задачу на построение сечения параллелепипеда.

На рёбрах параллелепипеда даны точки K,L,M. Построить сечение параллелепипеда плоскостью KLM.

Построим данный параллелепипед и отметим указанные точки.

Так как точки L и M принадлежат грани АА1D1D и секущей плоскости, значит прямая LM их линия пересечения, а отрезок LM след от сечения грани АА1D1D секущей плоскостью.

Аналогично в грани DD1C1C построим прямую MK и выделим отрезок MK.

В грани А1B1C1D1 есть только одна точка L, для построения второй точки продлим до пересечения прямые D1C1 и MK. Отметим их общую точку H.

Точка H принадлежит секущей плоскости, так принадлежит прямой MK. И принадлежит грани A1B1C1D1, так как принадлежит прямой D1C1. Проведем прямую LH. Отметим точку T точку пересечения прямой с ребром B1C1. Выделим отрезок LT это будет след от сечения  плоскость.

Так как точки T и К принадлежат секущей плоскости и грани ВВ1С1С, то отрезок ТК  будет следом от сечения в этой грани.

Выделим получившийся четырехугольник KMLT. Это искомое сечение.

Рассмотренные задачи относятся к классу задач на построение и имеют свои этапы решения: анализ, построение, доказательство. Мы рассмотрели только этап построения, так как наша цель– научиться строить искомое сечение.