Урок «Сфера. Площадь сферы»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением касательной плоскости к сфере, её свойством, а так же с признаком касательной плоскости к сфере.

Итак, касательной плоскостью называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, данную общую точку называют точкой касания.

Вспомним, что радиус сферы перпендикулярен касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы.

Сферу нельзя развернуть на плоскость, в отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса, поэтому здесь непригоден способ вычисления и  определения площади поверхности с помощью развёртки.

Воспользуемся понятием описанного многогранника для определения площади сферы.

Итак, многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней, другими словами плоскость каждой грани является касательной к сфере.

В этом случае сфера — вписанная.

Пусть описанный около сферы многогранник имеет  k граней.

Если неограниченно увеличивать число k граней так, чтобы наибольший размер каждой грани стремился к нулю, то за площадь сферы можно принять предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани.

При дальнейшем изучении темы «Площадь сферы», мы докажем существование этого предела, а так же выведем следующую формулу для нахождения площади сферы радиуса R:

S=4  R2

Применим полученные знания при решении задач.

Задача 1.

Вычислить радиус круга, площадь которого равна площади сферы с радиусом 5 м.

Решение:

1. Площадь сферы вычисляется по формуле:

S=4  R2, радиус сферы равен 5 м.

Таким образом, площадь сферы равна:

S=4  *52=4 *25=100  (м2)

2.Площадь круга вычисляется по формуле:

S=  r 2, где r-радиус круга.

Из условия известно, что площадь сферы равна площади круга, то есть   r 2=100

r 2=100, следовательно r =10 (м).

Таким образом, радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м, равен 10 м.

Задача 2.

Сечение шара площадью 16  см2 находится на расстоянии 3 см от центра шара. Найти площадь поверхности шара (сферы).

Решение:

1.Сечение сферы является кругом, площадь которого вычисляется по формуле:

S=  r 2=16 , где r=АВ — радиус круга.

Найдём радиус сечения r:

r=√ =√16, r=АВ=4 (см)

2.Рассмотрим треугольник ОАВ:

ОА=d — расстояние (перпендикуляр) от центра шара до сечения.

Значит, угол А равен 900.

Таким образом, из прямоугольного треугольника ОАВ по теореме Пифагора находим отрезок ОВ, который является радиусом сферы:

ОВ= R=√АВ2+ОА2=√42+32=√25=5 (см)

3.Площадь сферы вычислим по формуле:

S=4  R2, где R — радиус сферы.

Sсф=4 *52=4 *25=100 (см2)

Ответ: Sсф=100 см2