Урок «Сфера. Уравнение сферы»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными  x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R  и с центром С(x0; y0; z0).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

МС=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

R=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2  или

R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 .

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит,  координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2

Применим полученные знания при решении задач.

Задача 1.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

Решение:

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:

(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в  данное уравнение:

(x+2)2+(y-2)2+(z-0)2 = R2

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

(x+2)2+(y-2)2+z2 = R2

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

R2=(5+2)2+(0-2)2+(-1)2 =49+4+1=54

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

(x+2)2+(y-2)2+z2 = 54

Задача 2.

Сфера задана уравнением:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

Решение:

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или

x2+( y+1)2+( z-2)2=9

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2=9

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

02+( m+1)2+(2-2)2=9

12+(1+1)2+( m-2-2)2=9

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

Таким образом, мы получили 4 значения m:

m=-4;   m=2;  m=6;  m=2.

Несложно проверить, что при  m=-4 и  m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.