Уроки математики / Видеоурок / Урок "Умножение и деление степеней"

Урок "Умножение и деление степеней"

Краткое описание документа:

В прошлом видеоуроке мы узнали, что степенью некоего основания называется такое выражение, которое представляет собой произведение основания на самого себя, взятого в количестве, равном показателю степени. Изучим теперь некоторые важнейшие свойства и операции степеней.

Например, умножим две разные степени с одинаковым основанием:

(2)3 * (2)2

Представим это произведение в полном виде:

(2)3 * (2)2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Вычислив значение этого выражения, мы получим число 32. С другой стороны, как видно из этого же примера, 32 можно представить в виде произведения одного и того же основания (двойки), взятого в количестве 5 раз. И действительно, если пересчитать, то:

(2)5 = 32

Таким образом, можно с уверенностью прийти к выводу, что:

(2)3 * (2)2 = (2)5

Урок "Умножение и деление степеней"

Подобное правило успешно работает для любых показателей и любых оснований. Это свойство умножения степени вытекает из правила сохранности значения выражений при преобразованиях в произведении. При любом основании а произведение двух выражений (а)х и (а)у равно а(х + у). Иначе говоря, при произведении любых выражений с одинаковым основанием, итоговый одночлен имеет суммарную степень, образующуюся сложением степени первого и второго выражений.

Урок "Умножение и деление степеней"

Представляемое правило прекрасно работает и при умножении нескольких выражений. Главное условие – что бы основания у всех были одинаковыми. Например:

(2)1 * (2)3 * (2)4 = (2)8

Нельзя складывать степени, да и вообще проводить какие-либо степенные совместные действия с двумя элементами выражения, если основания у них являются разными.
Как показывает наше видео, в силу схожести процессов умножения и деления правила сложения степеней при произведении прекрасно передаются и на процедуру деления. Рассмотрим такой пример:

(2)6 / (2)4

Произведем почленное преобразование выражения в полный вид и сократим одинаковые элементы в делимом и делителе:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2)2 = 4

Конечный результат этого примера не так интересен, ведь уже в ходе его решения ясно, что значение выражения равно квадрату двойки. И именно двойка получается при вычитании степени второго выражения из степени первого.

Урок "Умножение и деление степеней"

Чтобы определить степень частного необходимо из степени делимого вычесть степень делителя. Правило работает при одинаковом основании для всех его значений и для всех натуральных степеней. В виде абстракции имеем:

(а)х / (а)у = (а)х – у

Из правила деления одинаковых оснований со степенями вытекает определение для нулевой степени. Очевидно, что следующее выражение имеет вид:

(а)х / (а)х = (а)(х – х) = (а)0

С другой стороны, если мы произведем деление более наглядным способом, то получим:

(а)2 / (а)2 = (а) (а) / (а) (а) = 1

При сокращении всех видимых элементов дроби всегда получается выражение 1/1, то есть, единица. Поэтому принято считать, что любое основание, возведенное в нулевую степень, равно единице:

(а)0 = 1

Вне зависимости от значения а.

Урок "Умножение и деление степеней"

Однако будет абсурдно, если 0 (при любых перемножениях дающий все равно 0) будет каким-то образом равен единице, поэтому выражение вида (0)0 (ноль в нулевой степени) просто не имеет смысла, а к формуле (а)0 = 1 добавляют условие: «если а не равно 0».

Решим упражнение. Найдем значение выражения:

(34)7 * (34)4 / (34)11

Так как основание везде одинаково и равно 34, то итоговое значение будет иметь такое же основание со степенью (согласно вышеуказанных правил):

7 + 4 – 11 = 0

Иначе говоря:

(34)7 * (34)4 / (34)11 = (34)0 = 1

Ответ: выражение равно единице.

Автор
Дата добавления 29.07.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Видеоурок
Просмотров1365
Номер материала 445
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.