Уроки математики / Видеоурок / Урок "Возведение одночлена в степень"

Урок "Возведение одночлена в степень"

Краткое описание документа:

Возведение любого натурального одночлена в степень сопровождается применением правил стандартного умножения. Рассмотрим такой пример:

(ах)4

Для того, что бы найти значение этого выражения, произведем почленное умножение:

(ах)4 = ах*ах*ах*ах

Как мы помним, любые переменные в одном одночлене являются,  по факту, перемноженными. Иными словами, одночлен ах представляет собой скрытое произведение а на х. Поэтому, можно с уверенностью сказать, что:

ах*ах*ах*ах = ахахахах

Урок "Возведение одночлена в степень"

С другой стороны, произведение любого количества любых одночленов дает тоже одночлен. Собственно говоря, разницы между произведением одночленов и общим мономом никакой нет. Скрытый или явный знак умножения роли особой не играет и никак не отображается на общем результате. Перегруппировав, получаем:

ахахахах = аааахххх = а4х4

Сравниваем это выражение с начальным вариантом:

(ах)4 = а4х4

Возведение в степень n одночлена, состоящего из двух переменных х и у приводит к новому одночлену, в котором и х, и у, имеют степень n:

(ху)n = (х)n(у)n

Урок "Возведение одночлена в степень"

Это правило прекрасно работает для любого количества переменных в одночлене. Например, для монома асху возведение в куб будет выглядеть так:

(асху)3 = (а)3(с)3(х)3(у)3

Таким образом, что бы возвести в степень одночлен, состоящий из многих элементов, необходимо каждый из этих элементов возвести в данную степень, а результаты перемножить, так что бы получился одночлен. Основание результата будет подобным начальному моному. Не стоит забывать, что свободный член тоже является элементом одночлена и подлежит возведению в степень.

Найдем значение выражения вида:

(-3ах)3

Как мы видим, заданный одночлен состоит из трех элементов – множителей: а, х, и (-3). Каждый из них возведем в третью степень, а полученный результат перемножим, скрыв знаки умножения. При этом можно сразу рассчитать значение куба (-3):

(-3ах)3 = -27а3х3

Урок "Возведение одночлена в степень"

Далее в нашем видео представлена теоретическая основа для правила возведения степеней, при основаниях, уже имеющих степень, отличную от единицы. Рассчитаем почленно значение выражения:

(а4)2 = (а4)*(а4) = (аааа)(аааа) = (а)8

Мы получили одночлен, который можно сократить до основания и показателя новой степени. При возведении любого основания х, имеющего степень а, в степень у, получаем выражение вида (х)ау. Иначе говоря, в подобных случаях степени перемножаются друг на друга.

Правила деления степенных выражений имеют общие черты с правилами произведения. Действительно, произведем почленные вычисления и преобразование полученного одночлена:

(х/у)3 = (х/у)*(х/у)*(х/у) = х33

При возведении в куб дроби, мы перемножили эту дробь три раза. По закону умножения дробей мы получили куб делимого и куб делителя в новой дроби. Так же, как и в случае с умножением, степень просто переносится на каждый элемент одночлена, раскрывая скобки.

Урок "Возведение одночлена в степень"

Следует понимать, что операция внесения степени в скобки в случаях умножения и деления внутри одночлена всегда представляет собой процесс умножения внешней степени на каждую степень внутренних элементов. Если таковая визуально не задана – значит, она равна единице, а умножение на единицу дает начальный результат. Кроме того, следует отличать между собой выражения вида аху4, а(ху)4, (аху)4, потому что степень над скобками относится исключительно к внутреннему содержимому, никак не влияя на остальные элементы одночлена:

аху4 = аху4

а(ху)4 = ах4у4

(аху)4 = а4х4у4

Решим такое практическое упражнение. Найдем значение выражения:

(-3х3у2)6

Пользуемся вышеописанными свойствами, возводим одночлен в шестую степень:

(-3х3у2)6 = (-3)6*(х3)6*(у2)6 = 729х18у12

Все свойства умножения и деления степенных выражений работают и с основаниями, имеющими нулевую степень, при условии, что эти основания не равны нулю.

 

Автор
Дата добавления 29.07.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Видеоурок
Просмотров1728
Номер материала 483
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.