Урок «Взаимное расположение сферы и плоскости»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Мы продолжаем знакомство со сферой.

На прошлом занятии вы узнали, что в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2

Рассмотрим взаимное расположение плоскости и сферы в зависимости от соотношения между расстоянием от её центра до плоскости и радиусом сферы.

1.Выберем прямоугольную систему координат Оxyz так, что центр сферы радиуса R имеет координаты С (0;0;d), где d-расстояние от центра сферы до данной плоскости α, а сама плоскость α совпадает с координатной плоскостью Оxy.

2.Запишем уравнение данной сферы:

x2+y2+(z- d)2 = R2.

3.Очевидно, что аппликата z любой точки плоскости Оxy равна нулю, то есть координаты любой точки плоскости Оxy удовлетворяют уравнению z=0, а координаты любой точки, не принадлежащей плоскости Оxy, этому уравнению не удовлетворяют, так как аппликаты таких точек не равны нулю.

Тем самым в соответствии с понятием уравнения поверхности, уравнение  z=0 является уравнением координатной плоскости Оxy, таким образом, уравнение плоскости α имеет вид:

z=0.

4.Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от решения системы уравнений:

При z=0 второе уравнение примет вид:

x2+y2 = R2- d2 

Рассмотрим возможные три случая:

1) Расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы

d  R. Тогда  R2- d2 0 и уравнение x2+y2 = R2- d2 является уравнением окружности  радиуса

 r=√ R2- d2 , все точки этой окружности принадлежат одновременно и сфере и плоскости.

Итак, плоскость и сфера пересекаются по окружности.

Таким образом, если расстояние от центра до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы данной плоскостью является окружностью.

Очевидно, что сечение шара плоскостью является кругом, причем:

если секущая плоскость проходит через центр шара, то в сечении получается круг, радиус которого равен радиусу шара;

если секущая плоскость не проходит через центр, то в сечении получается круг, радиус которого меньше радиуса шара.

2). Расстояние от центра сферы  до плоскости равно радиусу сферы

d=R, тогда  R2- d2=0 и уравнению       

 x2+y2 = R2- d2 удовлетворяют только значения

x=0, y=0. Поэтому только координаты точки О (0;0;0) удовлетворяют обоим уравнениям, итак точка О — единственная общая точка плоскости и сферы.

Таким образом, если расстояние до плоскости равно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют единственную общую точку.

3) Расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы

d   R, в этом случае  R2- d2  0 и уравнение 

x2+y2 = R2- d2 не имеет решения.

Таким образом, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то плоскость и сфера не имеют общих точек.

Применим полученные знания при решении задач.

Задача 1

Шар с радиусом 41 дм пересечён плоскостью, проходящей на расстоянии 9 дм от центра. Найти площадь сечения.

Решение:

1.Расстояние от центра шара до секущей плоскости меньше радиуса, значит сечением шара плоскостью, является круг.

Площадь круга вычислим по формуле:

S=πr2, где r = АК — радиус круга.

2.Найдём АК из прямоугольного  треугольника

АОК по теореме Пифагора:

3. Sсеч= r2= *402=1600 (дм2).

 Таким образом, площадь сечения равна 1600  дм2.

Сегодня мы рассмотрели возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости, применили свои знания при решении задач.